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正确率40.0%已知四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的四个顶点均在球$${{O}}$$的表面上，$${{A}{B}}$$为球$${{O}}$$的直径，$$A B=4， \， \， \， A D=B C=2$$，当四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的体积最大时，异面直线$${{A}{D}}$$与$${{B}{C}}$$所成角的余弦值为（）
D
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
2、['异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}，$$则下列说法不正确的是（）
D
A.直线$${{A}_{1}{B}}$$与$${{B}_{1}{C}}$$所成的角为$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$$A_{1} B \perp D B_{1}$$
C.$${{D}{{B}_{1}}{⊥}}$$平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$
D.$$B_{1} C \perp B_{1} D$$
4、['异面直线垂直'， '异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%在正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$A B=\sqrt{2} B B_{1}$$，则$${{A}{{B}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的大小为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
5、['异面直线所成的角']正确率60.0%在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，已知点$${{E}{，}{F}}$$分别是$$A B， C D$$的中点，且$$E F=5， \， A D=6， \， B C=8$$，则$${{A}{D}}$$与$${{B}{C}}$$所成的角的大小是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
6、['异面直线垂直'， '异面直线所成的角']正确率40.0%正方体$$A B C D \!-\! A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$为$${{D}{{D}_{1}}}$$中点，直线$${{A}{M}}$$与$${{D}_{1}{B}}$$成角余弦值为（）
C
A.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$- ~ \frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
9、['异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，异面直线$${{A}{C}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$所成的角为（）
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
1. 解析：
由于 $$AB$$ 是球 $$O$$ 的直径，四面体 $$ABCD$$ 的体积最大时，点 $$C$$ 和 $$D$$ 应在垂直于 $$AB$$ 的平面内且到 $$AB$$ 的距离最大。设球心为 $$O$$，则 $$OA = OB = 2$$。设 $$C$$ 和 $$D$$ 在平面 $$\pi$$ 上，且 $$\pi$$ 与 $$AB$$ 垂直，距离 $$AB$$ 为 $$h$$。根据勾股定理，$$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$（因为 $$AD = BC = 2$$）。
建立坐标系，设 $$A = (-2, 0, 0)$$，$$B = (2, 0, 0)$$，$$C = (1, \sqrt{3}, 0)$$，$$D = (-1, \sqrt{3}, 0)$$。此时，向量 $$\overrightarrow{AD} = (1, \sqrt{3}, 0)$$，$$\overrightarrow{BC} = (-1, \sqrt{3}, 0)$$。它们的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-1 + 3}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
因此，答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 解析：
对于正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$：
A. 直线 $$A_1B$$ 与 $$B_1C$$ 所成的角为 $$60^\circ$$（正确，因为它们是空间对角线，夹角为 $$60^\circ$$）。
B. $$A_1B \perp DB_1$$（正确，因为 $$DB_1$$ 是体对角线，与 $$A_1B$$ 垂直）。
C. $$DB_1 \perp$$ 平面 $$ACD_1$$（正确，因为 $$DB_1$$ 垂直于平面 $$ACD_1$$ 内的两条相交直线）。
D. $$B_1C \perp B_1D$$（不正确，因为 $$B_1C$$ 与 $$B_1D$$ 的夹角为 $$60^\circ$$，不垂直）。
因此，答案为 $$\boxed{D}$$。
4. 解析：
设 $$BB_1 = 1$$，则 $$AB = \sqrt{2}$$。建立坐标系，设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$B = (\sqrt{2}, 0, 0)$$，$$C = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right)$$，$$B_1 = (\sqrt{2}, 0, 1)$$，$$C_1 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 1\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{AB_1} = (\sqrt{2}, 0, 1)$$，$$\overrightarrow{BC_1} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 1\right)$$。它们的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{-1 + 0 + 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 0$$
因此，夹角为 $$\frac{\pi}{2}$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
5. 解析：
设 $$E$$ 和 $$F$$ 分别为 $$AB$$ 和 $$CD$$ 的中点，$$EF = 5$$，$$AD = 6$$，$$BC = 8$$。根据空间四边形中点公式，$$EF$$ 是 $$AD$$ 和 $$BC$$ 的平均向量，因此：
$$EF = \frac{AD + BC}{2} \cos \theta$$
即 $$5 = \frac{6 + 8}{2} \cos \theta$$，解得 $$\cos \theta = \frac{5}{7}$$，但题目选项不匹配。另一种方法是利用向量几何，设 $$AD$$ 和 $$BC$$ 的夹角为 $$\theta$$，则：
$$|EF|^2 = \frac{AD^2 + BC^2}{4} - \frac{AD \cdot BC}{2} \cos \theta$$
代入得 $$25 = \frac{36 + 64}{4} - \frac{48}{2} \cos \theta$$，解得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，即 $$\theta = 60^\circ$$。
因此，答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
设正方体棱长为 1，建立坐标系，设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$D_1 = (0, 1, 1)$$，$$M = (0, 1, 0.5)$$，$$B = (1, 0, 0)$$。
向量 $$\overrightarrow{AM} = (0, 1, 0.5)$$，$$\overrightarrow{D_1B} = (1, -1, -1)$$。它们的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{D_1B}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{D_1B}|} = \frac{0 - 1 - 0.5}{\sqrt{1.25} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1.5}{\sqrt{3.75}} = -\frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
因此，答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析：
在棱长为 1 的正方体中，设 $$A = (0, 0, 0)$$，$$C = (1, 1, 0)$$，$$B = (1, 0, 0)$$，$$D_1 = (0, 1, 1)$$。
向量 $$\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)$$，$$\overrightarrow{BD_1} = (-1, 1, 1)$$。它们的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}|} = \frac{-1 + 1 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$$
因此，夹角为 $$\frac{\pi}{2}$$，答案为 $$\boxed{C}$$。