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正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，已知平面$${{α}}$$经过点$${{A}_{1}}$$，且平行于平面$${{B}_{1}{{D}_{1}}{E}}$$，平面$${{α}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$交于直线$${{m}}$$，与平面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$交于直线$${{n}}$$，则直线$${{m}{，}{n}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
2、['棱锥的结构特征及其性质'， '三垂线定理及其逆定理'， '异面直线垂直'， '三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%已知三棱锥$$P-A B C$$，过点$${{P}}$$作$${{P}{O}{⊥}}$$面$$A B C， \ O$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$中的一点，且$$P A \perp P B， \， \， P B \perp P C， \， \， P C \perp P A$$，则点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
D
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
6、['基本事实4'， '异面直线垂直'， '命题的真假性判断'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%设$${{a}{，}{b}}$$为两条直线，$${{α}{，}{β}}$$为两个平面，则下列命题正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.若 $${{a}{，}{b}}$$与$${{α}}$$所成的角相等，则$${{a}{/}{/}{b}}$$
B.若$$a / / \alpha， b / / \beta， \alpha/ / \beta$$，则$${{a}{/}{/}{b}}$$
C.若$$a \subset\alpha， b \subset\beta， a / / b$$，则$${{α}{/}{/}{β}}$$
D.若$$a \perp\alpha， b \perp\beta， \alpha\perp\beta$$，则$${{a}{⊥}{b}}$$
9、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '异面直线垂直'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '命题的真假性判断'， '直线与平面平行的判定定理'， '直线与平面平行的性质定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%如果直线$${{l}{，}{m}}$$与平面$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma$$满足$$\beta\cap\gamma=l， \， \， \， l / / \alpha， \， \， \， m \subset\alpha， \， \， \， m \perp\gamma，$$那么必有（）
D
A.$${{m}{/}{/}{β}}$$，且$${{l}{⊥}{m}}$$
B.$$\alpha/ / \beta，$$且$${{α}{⊥}{γ}}$$
C.$$\alpha/ / \beta，$$且$${{l}{⊥}{m}}$$
D.$${{α}{⊥}{γ}{，}}$$且$${{l}{⊥}{m}}$$
1. 题目解析：
首先，我们需要确定平面$$α$$与正方体的交线$$m$$和$$n$$的位置关系。
步骤1：确定平面$$B_1D_1E$$的位置。点$$B_1$$、$$D_1$$和$$E$$分别位于正方体的顶点和边$$BC$$的中点。平面$$B_1D_1E$$与底面$$ABCD$$的交线为$$ED_1$$的延长线。
步骤2：由于平面$$α$$平行于平面$$B_1D_1E$$且经过点$$A_1$$，我们可以通过平移平面$$B_1D_1E$$到$$A_1$$的位置来确定$$α$$。平面$$α$$与底面$$ABCD$$的交线$$m$$平行于$$ED_1$$。
步骤3：计算$$ED_1$$的方向向量。设正方体边长为2，坐标分别为$$E(1, 0, 0)$$、$$D_1(0, 2, 2)$$，向量$$ED_1 = (-1, 2, 2)$$。由于$$m$$平行于$$ED_1$$，其方向向量也是$$(-1, 2, 0)$$（忽略$$z$$坐标，因为$$m$$在底面）。
步骤4：平面$$α$$与侧面$$ABB_1A_1$$的交线$$n$$平行于$$B_1E$$。向量$$B_1(2, 0, 2)$$、$$E(1, 0, 0)$$，所以$$B_1E = (-1, 0, -2)$$。$$n$$的方向向量为$$(-1, 0, 0)$$（在侧面$$ABB_1A_1$$上，$$z$$坐标固定）。
步骤5：计算$$m$$和$$n$$的夹角余弦。方向向量分别为$$(-1, 2, 0)$$和$$(-1, 0, 0)$$，点积为$$1$$，模长分别为$$\sqrt{5}$$和$$1$$，所以余弦值为$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
正确答案为A。
2. 题目解析：
根据题意，三棱锥$$P-ABC$$满足$$PA \perp PB$$、$$PB \perp PC$$、$$PC \perp PA$$，且$$PO \perp$$平面$$ABC$$。
步骤1：由$$PA \perp PB$$和$$PB \perp PC$$，可得$$PB$$垂直于平面$$PAC$$，从而$$PB \perp AC$$。
步骤2：由于$$PO \perp$$平面$$ABC$$，$$PO \perp AC$$。结合$$PB \perp AC$$，可得$$AC$$垂直于平面$$PBO$$，从而$$AC \perp BO$$。
步骤3：同理可证$$AB \perp CO$$和$$BC \perp AO$$，即$$O$$是三角形$$ABC$$的垂心。
正确答案为D。
6. 题目解析：
逐一分析选项：
A选项：两条直线与同一平面所成角相等，不一定平行。反例：圆锥的两条母线。
B选项：$$a \parallel \alpha$$和$$b \parallel \beta$$，且$$\alpha \parallel \beta$$，但$$a$$和$$b$$可能异面或相交。
C选项：$$a \subset \alpha$$、$$b \subset \beta$$且$$a \parallel b$$，不能推出$$\alpha \parallel \beta$$，因为两平面可能相交。
D选项：$$a \perp \alpha$$、$$b \perp \beta$$且$$\alpha \perp \beta$$，则$$a$$和$$b$$必垂直。
正确答案为D。
9. 题目解析：
根据题意：$$\beta \cap \gamma = l$$、$$l \parallel \alpha$$、$$m \subset \alpha$$且$$m \perp \gamma$$。
步骤1：由于$$m \perp \gamma$$，且$$m \subset \alpha$$，可得$$\alpha \perp \gamma$$。
步骤2：$$l \parallel \alpha$$且$$l \subset \beta$$，不能直接推出$$\alpha \parallel \beta$$，因为$$\beta$$可能与$$\alpha$$相交。
步骤3：由于$$m \perp \gamma$$且$$l \subset \gamma$$，所以$$m \perp l$$。
综合以上，只有选项D（$$\alpha \perp \gamma$$且$$l \perp m$$）必然成立。
正确答案为D。