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正确率40.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$，$${{A}{B}{=}{1}}$$，$${{A}{D}{=}{2}}$$，点$${{E}}$$为$${{B}{C}}$$边的中点将$${{△}{A}{B}{E}}$$沿$${{A}{E}}$$翻折，得到四棱锥$${{B}{−}{A}{E}{C}{D}}$$，且平面$${{B}{A}{E}{⊥}}$$平面$${{A}{E}{C}{D}}$$，则四面体$${{B}{−}{E}{C}{D}}$$的外接球的表面积为（）
B
A.$$\frac{7} {2} \pi$$
B.$${{4}{π}}$$
C.$$\frac{9} {2} \pi$$
D.$${{5}{π}}$$
3、['充分不必要条件'， '空间中直线与直线的位置关系'， '充分、必要条件的判定'， '平面与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率60.0%已知直线$${{m}{，}{l}{，}}$$平面$${{α}{，}{β}}$$满足$${{l}{⊥}{α}{，}{m}}$$$${{⊂}}$$$${{β}}$$，则“$${{l}{/}{/}{m}}$$”是“$${{α}{⊥}{β}}$$”的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、['平面与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率40.0%在四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{⊥}{A}{D}{，}{A}{B}{=}{A}{D}{=}{B}{C}{=}{C}{D}{=}{1}}$$，且平面$${{A}{B}{D}{⊥}}$$平面$${{B}{C}{D}{，}{M}}$$为$${{A}{B}}$$中点，则线段$${{C}{M}}$$的长为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
8、['平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%设$${{m}{，}{n}}$$是不同的直线，$${{α}{，}{β}}$$是不同的平面，则
A
A.若$${{m}{{\}{p}{e}{r}{p}}{α}{，}{n}{{\}{p}{e}{r}{p}}{β}{，}{m}{{\}{p}{e}{r}{p}}{n}{，}{则}{α}{{\}{p}{e}{r}{p}}{β}}$$
B.若$${{α}{⋂}{β}{=}{m}{，}{n}{⊂}{β}{，}{n}{{\}{p}{e}{r}{p}}{m}{，}{则}{n}{{\}{p}{e}{r}{p}}{α}}$$
C.若$${{m}{{/}{\}{!}{/}}{α}{，}{n}{{/}{\}{!}{/}}{β}{，}{m}{{/}{\}{!}{/}}{n}{，}{则}{α}{{/}{\}{!}{/}}{β}}$$
D.若$${{m}{{/}{\}{!}{/}}{n}{，}{n}{⊂}{α}{，}{则}{m}{{/}{\}{!}{/}}{α}}$$
9、['直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%设$${{m}{，}{n}{，}{l}}$$是三条不同的直线，$${{α}{，}{β}}$$是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中一定成立的是$${{(}{)}}$$
C
A.若$${{m}{⊂}{α}{，}{n}{⊂}{β}{，}{m}{/}{/}{n}}$$，则$${{α}{/}{/}{β}}$$
B.若$${{l}{⊥}{m}{，}{l}{⊥}{n}{，}{m}{⊂}{β}{，}{n}{⊂}{β}}$$，则$${{l}{⊥}{β}}$$
C.若$${{α}{⊥}{β}{，}{α}{∩}{β}{=}{l}{，}{n}{⊂}{β}{，}{n}{⊥}{l}{，}{m}{⊥}{α}{，}}$$则$${{m}{/}{/}{n}}$$
D.若$${{m}{⊂}{α}{，}{n}{⊂}{α}{，}{m}{/}{/}{n}{，}{l}{⊥}{m}{，}{l}{⊥}{n}}$$，则$${{l}{⊥}{α}}$$
10、['反证法'， '充分、必要条件的判定'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率60.0%已知平面$${{α}{，}{β}{，}}$$直线$${{m}{，}{n}}$$，若$${{α}{⊥}{β}{，}{α}{∩}{β}{=}{l}{，}{m}{⊂}{α}{，}{n}{⊂}{β}{，}}$$则$${{“}{m}{⊥}{n}{”}}$$是$${{“}{m}{，}{n}}$$中至少有一条与$${{l}}$$垂直$${{”}}$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1、首先建立坐标系，设点$$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$D(0,2)$$，则$$E(1,1)$$。折叠后，点$$B$$移动到$$B'$$，使得平面$$B'AE \perp$$平面$$AECD$$。通过计算可得$$B'$$的坐标为$$(0.5, 0.5, \sqrt{0.5})$$。四面体$$B'-ECD$$的外接球球心在$$B'C$$的垂直平分面上，通过几何关系求得半径$$r = \frac{\sqrt{14}}{4}$$，表面积为$$4\pi r^2 = \frac{7}{2}\pi$$。答案为$$A$$。
- 若$$l \parallel m$$，由于$$l \perp \alpha$$，则$$m \perp \alpha$$，又$$m \subset \beta$$，故$$\alpha \perp \beta$$（充分条件）。
- 但$$\alpha \perp \beta$$时，$$l \perp \alpha$$和$$m \subset \beta$$不一定推出$$l \parallel m$$（非必要条件）。
4、由条件可知$$AB \perp AD$$且平面$$ABD \perp$$平面$$BCD$$。建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，通过几何关系求得$$C(0.5, 0.5, \sqrt{0.5})$$。$$M$$为$$AB$$中点，坐标为$$(0.5, 0, 0)$$。计算$$CM$$的距离为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，答案为$$D$$。
- A正确：若$$m \perp \alpha$$，$$n \perp \beta$$，且$$m \perp n$$，则$$\alpha \perp \beta$$。
- B错误：$$n \perp m$$且$$n \subset \beta$$，不一定推出$$n \perp \alpha$$。
- C错误：平行条件不足以保证平面平行。
- D错误：$$m \parallel n$$且$$l \perp m$$，$$l \perp n$$，不一定推出$$l \perp \alpha$$。
- A错误：$$m \subset \alpha$$，$$n \subset \beta$$且$$m \parallel n$$，不能推出$$\alpha \parallel \beta$$。
- B错误：$$l \perp m$$和$$l \perp n$$，但$$m$$和$$n$$需相交才能推出$$l \perp \beta$$。
- C正确：由面面垂直和线面垂直的性质可得$$m \parallel n$$。
- D错误：$$m$$和$$n$$需不平行才能推出$$l \perp \alpha$$。
10、分析条件： - 若$$m \perp n$$，在面面垂直下，至少有一条（$$m$$或$$n$$）与交线$$l$$垂直（充分条件）。 - 但若$$m$$或$$n$$中有一条与$$l$$垂直，$$m \perp n$$不一定成立（非必要条件）。 因此是充分不必要条件，答案为$$A$$。
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