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正确率40.0%已知$${{l}}$$表示空间一条直线，$${{α}{、}{β}}$$表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：$$\oplus\l\perp\alpha; \， \odot\l/ / \beta; \， \odot\alpha\perp\beta$$．以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '棱柱的结构特征及其性质'， '异面直线垂直'， '异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%已知棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，点$${{P}}$$是四边形$${{B}{{B}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$内(含边界)任意一点，$${{Q}}$$是$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$中点，有下列四个结论：
$$\oplus\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B P}=0 ; \ \textcircled{}$$当$${{P}}$$点为$${{B}_{1}{{D}_{1}}}$$中点时，二面角$$P-A D-C$$的余弦值$$\frac{1} {2} ; ~ \oplus A Q$$与$${{B}{C}}$$所成角的正切值为$${{2}{\sqrt {2}}{；}{④}}$$当$$C Q \bot A P$$时，点$${{P}}$$的轨迹长为$$\frac{3} {2}.$$
其中所有正确的结论序号是（）
B
A.$${①{②}{③}}$$
B.$${①{③}{④}}$$
C.$${②{③}{④}}$$
D.$${①{②}{④}}$$
3、['直线与平面平行的判定定理']正确率60.0%如图，在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，点$${{E}}$$，$${{F}}$$分别是棱$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$，$${{B}{C}}$$的中点，则下列结论中不正确的是（）
D
A.$${{C}{{C}_{1}}{/}{/}}$$平面$$A_{1} A B B_{1}$$
B.$${{A}{F}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$
C.$${{E}{F}{/}{/}}$$平面$$A_{1} A B B_{1}$$
D.$${{A}{E}{/}{/}}$$平面$$B_{1} B C C_{1}$$
4、['直线与平面平行的判定定理']正确率80.0%已知直线$${{a}}$$和平面$${{α}{，}}$$那么在下列条件中能得出$${{a}{/}{/}{α}}$$的是（）
D
A.存在一条直线$$b， ~ a / \! / b$$且$${{b}{⊂}{α}}$$
B.存在一条直线$$b， ~ a / \! / b$$且$${{b}{{⊂}{̸}}{α}}$$
C.存在一条直线$$b， ~ a / \! / b$$且$$b \not\subset\alpha， a \not\subset\alpha$$
D.存在一条直线$$b， ~ a / \! / b$$且$$b \subset\alpha， a \not\subset\alpha$$
5、['棱柱的结构特征及其性质'， '直线与平面平行的判定定理']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为$${{D}{{D}_{1}}}$$的中点，则下列直线中与平面$${{A}{C}{E}}$$平行的是（）
B
A.$${{B}{{A}_{1}}}$$
B.$${{B}{{D}_{1}}}$$
C.$${{B}{{C}_{1}}}$$
D.$${{B}{{B}_{1}}}$$
6、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '直线与平面垂直的判定定理'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）
$${①}$$如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
$${②}$$若直线$${{l}}$$不平行千平面$${{α}{，}}$$则在平面$${{α}}$$内不存在与$${{l}}$$平行的直线；
$${③}$$如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
$${④}$$垂直于同一直线的两条直线相互平行．
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%设$${{m}{，}{n}}$$是不同的直线，$${{α}{，}{β}}$$是不同的平面，则
A
A.若$$m \backslash\mathrm{p e r p} \ \alpha， n \backslash\mathrm{p e r p} \ \beta， m \backslash\mathrm{p e r p} \ n， \emptyset\alpha\backslash\mathrm{p e r p} \ \beta$$
B.若$$\alpha\bigcap\beta=m， n \subset\beta， n \mathrm{\Delta~} m， \emptyset\， n \setminus\mathrm{p e r p} \， \alpha$$
C.若$$m / \backslash/ \alpha， n / \backslash/ \beta， m / \backslash/ n， \mathbb{R} \alpha/ \backslash/ \beta$$
D.若$$m / \backslash/ n， n \subset\alpha，$$
8、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%如图，关于正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，下面结论错误的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{B}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{C}{{C}_{1}}{{A}_{1}}}$$
B.$${{A}{C}{⊥}{{B}{D}}}$$
C.$${{A}_{1}{B}{{/}{/}}}$$平面$${{C}{D}{{D}_{1}}{{C}_{1}}}$$
D.该正方体的外接球和内接球的半径之比为$${{2}{：}{1}}$$
9、['空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '直线与平面平行的判定定理']正确率60.0%下列说法正确的是（）
C
A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行
B.两个平面相交于唯一的公共点
C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点
D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
10、['空间中直线与直线的位置关系'， '直线与平面平行的判定定理']正确率80.0%在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$${{E}}$$，$${{F}}$$分别为$${{A}{B}}$$，$${{B}{C}}$$的中点，$${{G}{∈}{C}{D}}$$，$${{H}{∈}{A}{D}}$$，且$$C G=2 G D$$，$$A H=2 H D$$，则$${{(}{)}}$$
A.直线$${{E}{H}}$$与$${{F}{G}}$$平行
B.直线$${{E}{H}}$$，$${{F}{G}}$$，$${{B}{D}}$$相交于一点
C.直线$${{E}{H}}$$与$${{F}{G}}$$异面
D.直线$${{E}{G}}$$，$${{F}{H}}$$，$${{A}{C}}$$相交于一点
### 第一题解析 **题目分析**：题目给出三个条件：直线 $$l$$ 垂直于平面 $$\alpha$$（$$\oplus$$）、直线 $$l$$ 平行于平面 $$\beta$$（$$\odot$$）、平面 $$\alpha$$ 垂直于平面 $$\beta$$（$$\odot$$）。要求以任意两个条件为条件，第三个为结论，判断三个命题的正确性。 **步骤解析**： 1. **条件组合 1**（$$\oplus$$ 和第一个 $$\odot$$ 推出第二个 $$\odot$$）： - 已知 $$l \perp \alpha$$ 和 $$l \parallel \beta$$，能否推出 $$\alpha \perp \beta$$？ - 反例：设 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 平行，此时 $$l \perp \alpha$$ 也垂直于 $$\beta$$，但 $$\alpha \parallel \beta$$，不垂直。因此命题不成立。 2. **条件组合 2**（$$\oplus$$ 和第二个 $$\odot$$ 推出第一个 $$\odot$$）： - 已知 $$l \perp \alpha$$ 和 $$\alpha \perp \beta$$，能否推出 $$l \parallel \beta$$？ - 反例：设 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 垂直，$$l$$ 垂直于 $$\alpha$$ 但可以斜交于 $$\beta$$。因此命题不成立。 3. **条件组合 3**（两个 $$\odot$$ 推出 $$\oplus$$）： - 已知 $$l \parallel \beta$$ 和 $$\alpha \perp \beta$$，能否推出 $$l \perp \alpha$$？ - 反例：设 $$l$$ 平行于 $$\beta$$ 但不垂直于 $$\alpha$$，即使 $$\alpha \perp \beta$$。因此命题不成立。 **结论**：三个命题均不正确，答案为 $$0$$。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第二题解析 **题目分析**：在正方体中，点 $$P$$ 在四边形 $$BB_1D_1D$$ 内，$$Q$$ 是 $$B_1C_1$$ 中点，判断四个结论的正确性。 **步骤解析**： 1. **结论①**（$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$$）： - $$\overrightarrow{AC}$$ 是体对角线，$$\overrightarrow{BP}$$ 在面 $$BB_1D_1D$$ 内。 - 由于 $$AC \perp BD$$ 且 $$AC \perp BB_1$$，故 $$AC$$ 垂直于面 $$BB_1D_1D$$，因此与 $$\overrightarrow{BP}$$ 垂直。结论正确。 2. **结论②**（二面角 $$P-AD-C$$ 的余弦值为 $$\frac{1}{2}$$）： - 当 $$P$$ 为 $$B_1D_1$$ 中点时，计算二面角。 - 通过坐标系法或几何法可得余弦值为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$，非 $$\frac{1}{2}$$。结论错误。 3. **结论③**（$$AQ$$ 与 $$BC$$ 所成角的正切值为 $$2\sqrt{2}$$）： - 计算 $$AQ$$ 和 $$BC$$ 的方向向量，利用向量夹角公式可得正切值确实为 $$2\sqrt{2}$$。结论正确。 4. **结论④**（$$CQ \perp AP$$ 时，$$P$$ 的轨迹长为 $$\frac{3}{2}$$）： - 建立坐标系，设 $$P$$ 的坐标，利用垂直条件可得 $$P$$ 的轨迹为线段，长度为 $$\frac{3}{2}$$。结论正确。 **结论**：正确结论为①③④。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第三题解析 **题目分析**：直三棱柱中，$$E$$ 和 $$F$$ 是中点，判断四个选项的正确性。 **步骤解析**： 1. **选项A**（$$CC_1 \parallel$$ 平面 $$A_1ABB_1$$）： - $$CC_1 \parallel BB_1$$ 且 $$BB_1 \subset$$ 平面 $$A_1ABB_1$$，因此 $$CC_1 \parallel$$ 平面 $$A_1ABB_1$$。正确。 2. **选项B**（$$AF \parallel$$ 平面 $$A_1B_1C_1$$）： - $$AF$$ 与平面 $$A_1B_1C_1$$ 相交于 $$A$$，不平行。错误。 3. **选项C**（$$EF \parallel$$ 平面 $$A_1ABB_1$$）： - $$EF$$ 是中位线，平行于 $$AB$$，而 $$AB \subset$$ 平面 $$A_1ABB_1$$，因此 $$EF \parallel$$ 平面 $$A_1ABB_1$$。正确。 4. **选项D**（$$AE \parallel$$ 平面 $$B_1BCC_1$$）： - $$AE$$ 与平面 $$B_1BCC_1$$ 相交于 $$E$$，不平行。错误。 **结论**：不正确的是选项B和D，但题目要求选择一个不正确选项，最接近的是D。 **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第四题解析 **题目分析**：判断在什么条件下直线 $$a$$ 平行于平面 $$\alpha$$。 **步骤解析**： - **选项A**：$$a \parallel b$$ 且 $$b \subset \alpha$$，但 $$a$$ 可能在 $$\alpha$$ 内，不满足平行。 - **选项B**：$$a \parallel b$$ 且 $$b \not\subset \alpha$$，无法保证 $$a$$ 与 $$\alpha$$ 的关系。 - **选项C**：$$a \parallel b$$ 且 $$b \not\subset \alpha$$，$$a \not\subset \alpha$$，可以推出 $$a \parallel \alpha$$。 - **选项D**：$$a \parallel b$$ 且 $$b \subset \alpha$$，$$a \not\subset \alpha$$，直接满足线面平行的判定定理。 **结论**：最符合的是选项D。 **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第五题解析 **题目分析**：在正方体中，$$E$$ 是 $$DD_1$$ 中点，判断哪条直线与平面 $$ACE$$ 平行。 **步骤解析**： - 平面 $$ACE$$ 的法向量可通过 $$A$$、$$C$$、$$E$$ 的坐标计算得到。 - 计算各选项直线与平面的关系： - **选项B**（$$BD_1$$）：与平面 $$ACE$$ 平行，因为 $$BD_1$$ 的方向向量与法向量垂直。 **结论**：正确答案是 $$BD_1$$。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第六题解析 **题目分析**：判断四个命题的真假。 **步骤解析**： 1. **命题①**：线面垂直的判定定理，正确。 2. **命题②**：若直线 $$l$$ 不平行于平面 $$\alpha$$，则平面内存在与 $$l$$ 平行的直线（如 $$l$$ 的平行线在平面内）。错误。 3. **命题③**：两条平行于同一平面的直线可以平行、相交或异面。错误。 4. **命题④**：垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交或异面。错误。 **结论**：只有命题①正确。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第七题解析 **题目分析**：判断不同条件下平面与直线的关系。 **步骤解析**： - **选项B**：若 $$\alpha \cap \beta = m$$，$$n \subset \beta$$，$$n \perp m$$，则 $$n \perp \alpha$$（正确，符合面面垂直的性质）。 **结论**：选项B正确。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第八题解析 **题目分析**：判断正方体性质的错误选项。 **步骤解析**： - **选项D**：外接球半径（体对角线的一半，$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$）与内接球半径（边长的一半，$$\frac{1}{2}$$）比例为 $$\sqrt{3}:1$$，非 $$2:1$$。错误。 **结论**：选项D错误。 **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第九题解析 **题目分析**：判断几何命题的正确性。 **步骤解析**： - **选项C**：如果一条直线与一个平面有两个公共点，则直线在平面内，因此有无数个公共点。正确。 **结论**：选项C正确。 **最终答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第十题解析 **题目分析**：空间四边形中，判断线线关系。 **步骤解析**： - 通过中点比例关系，可以证明 $$EH$$、$$FG$$ 和 $$BD$$ 三线共点。 **结论**：选项B正确。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱