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正确率60.0%设$${{l}{，}{m}}$$是两条异面直线，$${{P}}$$是空间任意一点，则下列命题正确的是（）
C
A.过$${{P}}$$点必存在平面与两异面直线$${{l}{，}{m}}$$都垂直
B.过$${{P}}$$点必存在平面与两异面直线$${{l}{，}{m}}$$都平行
C.过$${{P}}$$点必存在直线与两异面直线$${{l}{，}{m}}$$都垂直
D.过$${{P}}$$点必存在直线与两异面直线$${{l}{，}{m}}$$都平行
4、['立体几何中的动态问题'， '直线与平面平行的判定定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率40.0%点$${{M}{，}{N}}$$分别是棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱$${{B}{C}{，}{C}{{C}_{1}}}$$的中点，动点$${{P}}$$在面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$内运动.若$${{P}{{A}_{1}}{/}{/}}$$平面$${{A}{M}{N}{，}}$$则$${{P}{{A}_{1}}}$$的长度的取值范围是（）
B
A.$${{[}{2}{，}{\sqrt {5}}{]}}$$
B.$$\left[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， ~ \sqrt{5} \right]$$
C.$$\left[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \enskip3 \right]$$
D.$${{[}{2}{，}{3}{]}}$$
6、['直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%设$${{m}{、}{n}{、}{l}}$$是空间三条不同的直线，$${{α}}$$是一个平面．下列四个命题中为真命题的是（）
C
A.$${{m}{⊥}{l}{，}{m}{/}{/}{n}}$$，则$${{n}{/}{/}{l}}$$
B.若$${{m}{/}{/}{α}{，}{n}{/}{/}{α}}$$，则$${{m}{/}{/}{n}}$$
C.若$${{m}{⊥}{α}{，}{n}{⊂}{α}}$$，则$${{m}{⊥}{n}}$$
D.若$${{m}{/}{/}{α}{，}{n}{⊂}{α}}$$，则$${{m}{/}{/}{n}}$$
8、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%已知直线$${{m}{，}{n}}$$和平面$${{α}}$$满足$${{m}{⊥}{α}{，}{m}{⊥}{n}}$$，则$${{n}}$$与$${{α}}$$的位置关系为（）
C
A.$${{n}{⊥}{α}}$$
B.$${{n}{⊂}{α}}$$
C.$${{n}{/}{/}{α}}$$或$${{n}{⊂}{α}}$$
D.都有可能
9、['直线与平面垂直的性质定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '平面与平面平行的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%设$${{α}{，}{β}}$$为两个不同平面，$${{m}{，}{n}}$$为两条不同的直线，给出以下命题
$${（{1}{）}}$$若$${{m}{⊥}{α}{，}{n}{/}{/}{α}}$$，则$${{m}{⊥}{n}{；}{（}{2}{）}}$$若$${{α}{/}{/}{β}{，}{m}{⊂}{α}{，}}$$则$${{m}{/}{/}{β}}$$；
$${（{3}{）}}$$若$${{α}{⊥}{β}{，}{m}{⊂}{α}{，}{n}{⊂}{β}{，}}$$则$${{m}{⊥}{n}{；}{（}{4}{）}}$$若$${{m}{⊥}{n}{，}{m}{⊥}{α}{，}{n}{/}{/}{β}}$$，则$${{α}{⊥}{β}{；}}$$
则下列真命题个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1、设$${l, m}$$是两条异面直线，$${P}$$是空间任意一点，则下列命题正确的是（）。
解析：
选项分析：
A. 过$${P}$$点存在平面与两异面直线$${l, m}$$都垂直。这是错误的，因为两条异面直线的公垂线唯一，无法保证存在一个平面同时垂直于两条直线。
B. 过$${P}$$点存在平面与两异面直线$${l, m}$$都平行。这是正确的，可以通过平移两条直线使其与$${P}$$点共面，然后构造平行平面。
C. 过$${P}$$点存在直线与两异面直线$${l, m}$$都垂直。这是错误的，因为两条异面直线的公垂线唯一，不一定经过$${P}$$点。
D. 过$${P}$$点存在直线与两异面直线$${l, m}$$都平行。这是错误的，因为两条异面直线的方向向量不共线，无法同时平行。
正确答案：B
4、点$${M, N}$$分别是棱长为$${2}$$的正方体$${ABCD-A_1B_1C_1D_1}$$的棱$${BC, CC_1}$$的中点，动点$${P}$$在面$${BCC_1B_1}$$内运动。若$${PA_1}$$平行于平面$${AMN}$$，则$${PA_1}$$的长度的取值范围是（）。
解析：
1. 建立坐标系：设正方体的顶点坐标为$${A(0,0,0)}$$，$${B(2,0,0)}$$，$${C(2,2,0)}$$，$${D(0,2,0)}$$，$${A_1(0,0,2)}$$，$${B_1(2,0,2)}$$，$${C_1(2,2,2)}$$，$${D_1(0,2,2)}$$。
2. 点$${M}$$和$${N}$$的坐标分别为$${M(2,1,0)}$$，$${N(2,2,1)}$$。
3. 平面$${AMN}$$的法向量为$${\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN} = (2,1,0) \times (2,2,1) = (1, -2, 2)}$$。
4. 因为$${PA_1}$$平行于平面$${AMN}$$，所以$${PA_1}$$与法向量$${\vec{n}}$$垂直，即$${PA_1}$$的方向向量$${\vec{v}}$$满足$${\vec{v} \cdot \vec{n} = 0}$$。
5. 设$${P(x, y, z)}$$在面$${BCC_1B_1}$$内，则$${x=2}$$，$${0 \leq y \leq 2}$$，$${0 \leq z \leq 2}$$。
6. $${\vec{PA_1} = (-2, -y, 2-z)}$$，由垂直条件得$${-2 \cdot 1 + (-y) \cdot (-2) + (2-z) \cdot 2 = 0}$$，化简得$${2y + 4 - 2z - 2 = 0}$$，即$${y - z + 1 = 0}$$。
7. $$P$$的轨迹为$${y - z + 1 = 0}$$在$${BCC_1B_1}$$内的部分。
8. 计算$${PA_1}$$的长度：$${PA_1 = \sqrt{(-2)^2 + (-y)^2 + (2-z)^2} = \sqrt{4 + y^2 + (2-z)^2}}$$。
9. 由$${y - z + 1 = 0}$$，代入得$${PA_1 = \sqrt{4 + y^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{2y^2 - 6y + 13}}$$。
10. 求函数$${f(y) = 2y^2 - 6y + 13}$$在$${0 \leq y \leq 2}$$的取值范围：最小值为$${f(1.5) = 2 \cdot 2.25 - 9 + 13 = 8.5}$$，最大值为$${f(0) = 13}$$和$${f(2) = 9}$$。
11. 因此$${PA_1}$$的取值范围为$${\left[ \sqrt{8.5}, \sqrt{9} \right] = \left[ \frac{3\sqrt{2}}{2}, 3 \right]}$$。
正确答案：B
6、设$${m, n, l}$$是空间三条不同的直线，$${\alpha}$$是一个平面。下列四个命题中为真命题的是（）。
解析：
选项分析：
A. 若$${m \perp l}$$，$${m \parallel n}$$，则$${n \parallel l}$$。这是错误的，$${n}$$可能与$${l}$$垂直或异面。
B. 若$${m \parallel \alpha}$$，$${n \parallel \alpha}$$，则$${m \parallel n}$$。这是错误的，$${m}$$和$${n}$$可能平行、相交或异面。
C. 若$${m \perp \alpha}$$，$${n \subset \alpha}$$，则$${m \perp n}$$。这是正确的，因为垂直于平面的直线垂直于平面内的所有直线。
D. 若$${m \parallel \alpha}$$，$${n \subset \alpha}$$，则$${m \parallel n}$$。这是错误的，$${m}$$可能与$${n}$$平行或异面。
正确答案：C
8、已知直线$${m, n}$$和平面$${\alpha}$$满足$${m \perp \alpha}$$，$${m \perp n}$$，则$${n}$$与$${\alpha}$$的位置关系为（）。
解析：
1. 因为$${m \perp \alpha}$$，所以$${m}$$垂直于$${\alpha}$$内的所有直线。
2. 又$${m \perp n}$$，则$${n}$$可能在平面$${\alpha}$$内（与$${m}$$垂直），也可能平行于$${\alpha}$$（与$${m}$$垂直但不重合）。
3. 因此$${n}$$与$${\alpha}$$的位置关系为$${n \parallel \alpha}$$或$${n \subset \alpha}$$。
正确答案：C
9、设$${\alpha, \beta}$$为两个不同平面，$${m, n}$$为两条不同的直线，给出以下命题：
（1）若$${m \perp \alpha}$$，$${n \parallel \alpha}$$，则$${m \perp n}$$；
（2）若$${\alpha \parallel \beta}$$，$${m \subset \alpha}$$，则$${m \parallel \beta}$$；
（3）若$${\alpha \perp \beta}$$，$${m \subset \alpha}$$，$${n \subset \beta}$$，则$${m \perp n}$$；
（4）若$${m \perp n}$$，$${m \perp \alpha}$$，$${n \parallel \beta}$$，则$${\alpha \perp \beta}$$。
则下列真命题个数为（）。
解析：
命题分析：
（1）正确。因为$${m \perp \alpha}$$，$${n \parallel \alpha}$$，所以$${m}$$垂直于$${n}$$。
（2）正确。平行平面中的一个平面内的直线平行于另一个平面。
（3）错误。$${\alpha \perp \beta}$$时，$${m}$$和$${n}$$不一定垂直，可能平行或相交但不垂直。
（4）错误。$${m \perp n}$$，$${m \perp \alpha}$$，$${n \parallel \beta}$$不能推出$${\alpha \perp \beta}$$，反例存在。
正确答案：B