空间两直线的共面、异面问题-立体几何初步的拓展与综合知识点专题基础单选题自测题解析-宁夏回族自治区等高二数学必修,平均正确率78.0%

1、['空间两直线的共面、异面问题'， '异面直线']

正确率60.0%在底面半径为$${{1}}$$的圆柱$${{O}{{O}_{1}}}$$中，过旋转轴$${{O}{{O}_{1}}}$$作圆柱的轴截面$$A B C D，$$其中母线$$A B=2， \， \， E$$是$${{B}{C}}$$的中点$${，{F}}$$是$${{A}{B}}$$的中点，则（）

A.$$A E=C F， ~ A C$$与$${{E}{F}}$$是共面直线

B.$$A E \neq C F， \， \， \， A C$$与$${{E}{F}}$$是共面直线

C.$$A E=C F， ~ A C$$与$${{E}{F}}$$是异面直线

D.$$A E \neq C F， \， \， \， A C$$与$${{E}{F}}$$是异面直线

2、['空间两直线的共面、异面问题'， '共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']

正确率40.0%在四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中$${，{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$内$${，{Q}}$$在$${{△}{B}{C}{D}}$$内，且满足$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{y A C}，$$$$\overrightarrow{A Q}=s \overrightarrow{A B}+t \overrightarrow{A C}+u \overrightarrow{A D}，$$若$$\frac{x} {y}=\frac{s} {t}，$$则下列说法中正确的是（）

A.$${{A}{Q}}$$与$${{D}{P}}$$所在直线是异面直线

B.$${{A}{Q}}$$与$${{D}{P}}$$所在直线平行

C.线段$${{A}{Q}}$$与$${{D}{P}}$$必相交

D.线段$${{A}{Q}}$$与$${{D}{P}}$$延长后相交

6、['空间两直线的共面、异面问题'， '充分、必要条件的判定']

正确率60.0%$${{“}}$$直线$${{a}{，}{b}}$$不相交$${{”}}$$是$${{“}}$$直线$${{a}{，}{b}}$$为异面直线$${{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8、['空间两直线的共面、异面问题'， '空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%在下列命题中：
$${①}$$若向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$共线，则$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$所在的直线平行；
$${②}$$若向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$所在的直线是异面直线，则$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$一定不共面；
$${③}$$若三个向量$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$两两共面，则$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$三个向量一定也共面；
$${④}$$已知三个向量$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$，则空间任意一个向量$${{p}{⃗}}$$，总可以唯一表示为$$\vec{p}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$$.
其中正确命题的个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

10、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间两直线的共面、异面问题'， '异面直线']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是两条异面直线，$$c / / a，$$那么$${{c}}$$与$${{b}}$$的位置关系（）

A.一定异面

B.一定相交

C.不可能平行

D.不可能相交

1、解析：

首先，圆柱的底面半径为$$1$$，轴截面$$ABCD$$为矩形，其中$$AB = 2$$，$$BC = 2r = 2$$。设坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$。$$E$$是$$BC$$的中点，坐标为$$(2,1,0)$$；$$F$$是$$AB$$的中点，坐标为$$(1,0,0)$$。

计算$$AE$$和$$CF$$的长度：$$AE = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{5}$$，$$CF = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2} = 2$$。因此$$AE \neq CF$$。

再判断$$AC$$与$$EF$$的位置关系：$$AC$$的方向向量为$$(2,2,0)$$，$$EF$$的方向向量为$$(-1,-1,0)$$，两者共线，故$$AC$$与$$EF$$共面。综上，选B。

2、解析：

由题意，$$\overrightarrow{AP} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{AQ} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} + u \overrightarrow{AD}$$，且$$\frac{x}{y} = \frac{s}{t}$$。

设$$\frac{x}{y} = \frac{s}{t} = k$$，则$$\overrightarrow{AP} = k y \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{AQ} = k t \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} + u \overrightarrow{AD}$$。

由于$$P$$在$$△ABC$$内，$$Q$$在$$△BCD$$内，$$AQ$$与$$DP$$的方向向量可以表示为线性组合，且存在交点。因此线段$$AQ$$与$$DP$$必相交，选C。

6、解析：

“直线$$a$$、$$b$$不相交”包含两种情况：平行或异面。而“直线$$a$$、$$b$$为异面直线”仅是其中一种情况。因此前者是后者的必要不充分条件，选B。

8、解析：

①错误，向量共线时，所在直线可能重合；②错误，向量共面与否与所在直线是否异面无关；③错误，三个向量两两共面不一定共面（如三棱锥的三条棱）；④错误，只有当三个向量不共面时，才能唯一表示任意向量。因此正确命题个数为0，选A。

10、解析：

$$a$$与$$b$$是异面直线，$$c \parallel a$$，则$$c$$与$$b$$可能异面或相交，但不可能平行（否则$$a \parallel b$$，矛盾）。因此选C。

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