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正确率19.999999999999996%$${{A}{B}{C}{D}}$$是球$${{O}}$$内接正四面体，若球$${{O}}$$的半径为$${{1}}$$，则$$( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} ) \cdot( \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D} )=~ ($$）
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
2、['立体几何中的四点共面、三点共线']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$三点不共线，对平面$${{A}{B}{C}}$$外的任意一点$${{O}{，}}$$下列条件中能确定点$${{M}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$共面的是（）
D
A.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$$
B.$$\overrightarrow{O M}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$
C.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\frac{1} {2} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$
D.$$\overrightarrow{O M}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$
3、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '空间向量基本定理的应用']正确率80.0%已知点$${{M}}$$在平面$${{A}{B}{C}}$$内，并且对于空间任意一点$${{O}{，}}$$都有$$\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{O A}-\frac{1} {6} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}，$$则$${{x}}$$的值是
（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {6}$$
7、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '空间四边形'， '基本事实1'， '基本事实的推论']正确率60.0%下列命题一定正确的是（）
C
A.三点确定一个平面
B.依次首尾相接的四条线段必共面
C.直线与直线外一点确定一个平面
D.两条直线确定一个平面
9、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '基本事实3'， '基本事实1'， '命题的真假性判断']正确率60.0%已知三个命题：$${①}$$若点$${{P}}$$不在平面$${{α}}$$内，$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$三点都在平面$${{α}}$$内，则$${{P}{、}{A}{、}{B}{、}{C}}$$四点不在同一平面内；$${②}$$两两相交的三条直线在同一平面内；$${③}$$两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '基本事实3']正确率60.0%设点$${{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面外一点，点$${{E}{，}{F}{，}{G}{，}{H}}$$分别在线段$${{A}{B}{，}{B}{C}{，}{C}{D}{，}{D}{A}}$$上，且直线$${{E}{F}}$$与$${{H}{G}}$$相交于点$${{P}}$$，则点$${{P}}$$（）
A
A.一定在直线$${{A}{C}}$$上
B.一定在直线$${{B}{D}}$$上
C.可能在直线$${{A}{C}}$$上，也可能在直线$${{B}{D}}$$上
D.既不在直线$${{A}{C}}$$上，也不在直线$${{B}{D}}$$上
1. 题目解析：
对于正四面体 $$ABCD$$ 内接于球 $$O$$，半径为 $$1$$。我们需要计算 $$( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ) \cdot ( \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} )$$。
由于 $$ABCD$$ 是正四面体，四个顶点对称，因此 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$$。
展开点积：
$$( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ) \cdot ( \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD}$$
由于对称性，任意两个向量的点积相等，设 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = k$$。
由 $$\|\overrightarrow{OA}\| = 1$$，且正四面体的性质可得 $$k = -\frac{1}{3}$$。
因此，点积结果为 $$4k = -\frac{4}{3}$$。
正确答案是 $$B$$。
2. 题目解析：
要使点 $$M$$ 与 $$A, B, C$$ 共面，需满足 $$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC}$$，且 $$x + y + z = 1$$。
逐一分析选项：
A: $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$，系数和为 $$3 \neq 1$$，不共面。
B: $$\overrightarrow{OM} = 2 \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，系数和为 $$0 \neq 1$$，不共面。
C: $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$$，系数和为 $$\frac{11}{6} \neq 1$$，不共面。
D: $$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$$，系数和为 $$1$$，共面。
正确答案是 $$D$$。
3. 题目解析：
点 $$M$$ 在平面 $$ABC$$ 内，需满足 $$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC}$$，且 $$x + y + z = 1$$。
题目给出 $$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{OA} - \frac{1}{6} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$$，因此：
$$x - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 1$$
解得 $$x = \frac{5}{6}$$。
正确答案是 $$D$$。
7. 题目解析：
逐一分析选项：
A: 三点共线时不能确定唯一平面，错误。
B: 四条线段首尾相接不一定共面，例如空间四边形，错误。
C: 直线与直线外一点确定唯一平面，正确。
D: 两条平行或相交直线确定唯一平面，但异面直线不共面，错误。
正确答案是 $$C$$。
9. 题目解析：
逐一分析命题：
① 若 $$P$$ 不在平面 $$\alpha$$ 内，$$A, B, C$$ 在 $$\alpha$$ 内，则 $$P, A, B, C$$ 四点不共面，正确。
② 两两相交的三条直线若共点可能不在同一平面内，错误。
③ 两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不一定是平行四边形，错误。
只有命题①正确。
正确答案是 $$B$$。
10. 题目解析：
点 $$P$$ 是直线 $$EF$$ 与 $$HG$$ 的交点。由于 $$EF$$ 在平面 $$ABC$$ 内，$$HG$$ 在平面 $$ACD$$ 内，两平面的交线为 $$AC$$。
因此，$$P$$ 必须在直线 $$AC$$ 上。
正确答案是 $$A$$。