立体几何位置关系的综合应用-立体几何初步的拓展与综合知识点专题进阶单选题自测题解析-黑龙江省等高二数学必修,平均正确率52.0%

1. 分析四个命题：

① 若 $$\alpha \perp \gamma$$, $$\beta \perp \gamma$$，则 $$\alpha \perp \beta$$：假命题。反例：两个平面都垂直于同一平面，但这两个平面可能平行或相交（不一定垂直）。

② 若 $$l \subset \alpha$$，$$l \perp \beta$$，则 $$\alpha \perp \beta$$：真命题。这是平面与平面垂直的判定定理。

③ 若 $$\alpha \perp \beta$$, $$l \perp \alpha$$, $$l \not\subset \beta$$，则 $$l \parallel \beta$$：真命题。因为 $$l \perp \alpha$$ 且 $$\alpha \perp \beta$$，所以 $$l$$ 平行于 $$\beta$$ 或包含于 $$\beta$$，但已知 $$l \not\subset \beta$$，故 $$l \parallel \beta$$。

④ 若 $$\alpha \perp \beta$$, $$l \parallel \alpha$$，则 $$l \perp \beta$$：假命题。反例：若 $$\alpha \perp \beta$$，且 $$l \parallel \alpha$$，则 $$l$$ 可能与 $$\beta$$ 平行、斜交或垂直，不一定垂直。

假命题个数为2（①和④），故选C。

2. 分析各选项：

A. 若 $$m \parallel \alpha$$ 且 $$n \parallel \alpha$$，则 $$m \parallel n$$：错误。$$m$$ 和 $$n$$ 可能平行、相交或异面。

B. 若 $$m \perp \beta$$ 且 $$m \parallel n$$，则 $$n \parallel \beta$$：错误。$$n$$ 可能平行于 $$\beta$$ 或在 $$\beta$$ 内，但不一定平行（例如 $$n$$ 与 $$\beta$$ 斜交）。

C. 若 $$m \perp \alpha$$ 且 $$m \parallel \beta$$，则 $$\alpha \perp \beta$$：正确。因为 $$m \perp \alpha$$ 且 $$m \parallel \beta$$，所以 $$\beta$$ 中存在直线与 $$\alpha$$ 垂直，故 $$\alpha \perp \beta$$。

D. 若 $$m$$ 不垂直于 $$\alpha$$，且 $$n \subset \alpha$$，则 $$m$$ 不垂直于 $$n$$：错误。$$m$$ 可能垂直于 $$\alpha$$ 中的某条直线 $$n$$，但不垂直于整个平面。

故选C。

3. 分析各说法：

① 若 $$m \perp \alpha$$, $$n \perp \alpha$$，则 $$m \parallel n$$：正确。垂直于同一平面的两条直线平行。

② 若 $$m \perp \alpha$$, $$m \perp n$$，则 $$n \parallel \alpha$$：错误。$$n$$ 可能在 $$\alpha$$ 内或与 $$\alpha$$ 平行，但也可能与 $$\alpha$$ 斜交（例如 $$n$$ 不平行于 $$\alpha$$ 时）。

③ 若 $$m \parallel \alpha$$, $$n \perp \alpha$$，则 $$m \perp n$$：正确。因为 $$n \perp \alpha$$，所以 $$n$$ 垂直于 $$\alpha$$ 内所有直线，而 $$m \parallel \alpha$$ 意味着 $$m$$ 与 $$\alpha$$ 内某直线平行，故 $$m \perp n$$。

④ 若 $$\alpha \perp \beta$$, $$m \subset \alpha$$, $$n \parallel \beta$$，则 $$m \perp n$$：错误。$$m$$ 和 $$n$$ 不一定垂直，例如当 $$m$$ 平行于两平面交线时。

正确的是①和③，故选A。

4. 分析各选项：

A. 若 $$l \parallel m$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \parallel \alpha$$：错误。$$l$$ 可能在 $$\alpha$$ 内。

B. 若 $$l \perp \alpha$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \perp m$$：正确。直线垂直于平面，则垂直于平面内所有直线。

C. 若 $$l \perp m$$, $$l \perp \alpha$$，则 $$m \perp \alpha$$：错误。$$m$$ 可能在 $$\alpha$$ 内或与 $$\alpha$$ 平行，但不一定垂直。

D. 若 $$l \parallel \alpha$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \parallel m$$：错误。$$l$$ 可能与 $$m$$ 异面。

故选B。

5. 分析各选项：

A. 若 $$m \parallel \alpha$$, $$n \parallel \alpha$$，则 $$m \parallel n$$：错误。$$m$$ 和 $$n$$ 可能相交或异面。

B. 若 $$m \parallel n$$, $$n \parallel \alpha$$，则 $$m \parallel \alpha$$：正确。平行于同一直线的两条直线平行，且该直线平行于平面，则另一条也平行于平面。

C. 若 $$m \perp \alpha$$, $$n \perp \alpha$$，则 $$m \perp n$$：错误。垂直于同一平面的两条直线平行，而非垂直。

D. 若 $$m \perp \alpha$$, $$m \perp \beta$$，则 $$\alpha \perp \beta$$：错误。$$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 可能平行。

故选B。

6. 分析各选项：

A. 若 $$l \parallel \alpha$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \parallel m$$：错误。$$l$$ 可能与 $$m$$ 异面。

B. 若 $$l \parallel m$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \parallel \alpha$$：错误。$$l$$ 可能在 $$\alpha$$ 内。

C. 若 $$l \perp m$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \perp \alpha$$：错误。$$l$$ 可能仅垂直于 $$\alpha$$ 内一条直线，但不垂直于整个平面。

D. 若 $$l \perp \alpha$$, $$m \subset \alpha$$，则 $$l \perp m$$：正确。定义。

故选D。

7. 设正方体边长为1，建立坐标系：以 $$A$$ 为原点，$$AB$$ 为 $$x$$-轴，$$AD$$ 为 $$y$$-轴，$$AA_1$$ 为 $$z$$-轴。

则 $$O$$ 为正方形 $$ADD_1A_1$$ 中心，坐标为 $$(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$；$$P$$ 为 $$AB$$ 中点，坐标为 $$(\frac{1}{2}, 0, 0)$$；$$A_1$$ 坐标为 $$(0,0,1)$$；$$B$$ 坐标为 $$(1,0,0)$$。

向量 $$\overrightarrow{OP} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$$，向量 $$\overrightarrow{A_1B} = (1,0,-1)$$。

夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{{ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{A_1B} }}{{ |\overrightarrow{OP}| \cdot |\overrightarrow{A_1B}| }} = \frac{{ \frac{1}{2} \times 1 + (-\frac{1}{2}) \times 0 + (-\frac{1}{2}) \times (-1) }}{{ \sqrt{{ (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 }} \cdot \sqrt{{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} }} = \frac{{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} }}{{ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} }} = \frac{{1}}{{ \frac{\sqrt{6}}{2} }} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。

正弦值：$$\sin \theta = \sqrt{{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^2}} = \sqrt{{1 - \frac{6}{9}}} = \sqrt{{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。

故选C。

8. 分析四个命题：

① 若 $$a \perp \alpha$$, $$b \perp \alpha$$，则 $$a \parallel b$$：正确。垂直于同一平面的两条直线平行。

② 若 $$a \parallel \alpha$$, $$b \parallel \alpha$$，则 $$a \parallel b$$：错误。可能相交或异面。

③ 若 $$a \perp \alpha$$, $$a \perp \beta$$，则 $$\alpha \parallel \beta$$：正确。垂直于同一直线的两个平面平行。

④ 若 $$b \parallel \alpha$$, $$b \parallel \beta$$，则 $$\alpha \parallel \beta$$：错误。$$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 可能相交。

正确命题个数为2（①和③），故选B。

9. 分析各选项：

A. 若 $$\alpha \perp \gamma$$, $$\alpha \perp \beta$$，则 $$\gamma \parallel \beta$$：错误。$$\gamma$$ 和 $$\beta$$ 可能相交。

B. 若 $$m \parallel n$$, $$m \subset \alpha$$, $$n \subset \beta$$，则 $$\alpha \parallel \beta$$：错误。$$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 可能相交。

C. 若 $$m \parallel n$$, $$m \perp \alpha$$, $$n \perp \beta$$，则 $$\alpha \parallel \beta$$：正确。因为 $$m \perp \alpha$$ 且 $$n \perp \beta$$，又 $$m \parallel n$$，所以 $$\alpha \parallel \beta$$。

D. 若 $$m \parallel n$$, $$m \parallel \alpha$$，则 $$n \parallel \alpha$$：错误。$$n$$ 可能在 $$\alpha$$ 内。

故选C。

10. 分析各选项：

A. 若 $$m \parallel \alpha$$, $$n \perp \beta$$ 且 $$m \perp n$$，则 $$\alpha \perp \beta$$：正确。因为 $$m \parallel \alpha$$，所以 $$m$$ 的方向与 $$\alpha$$ 平行，又 $$m \perp n$$ 且 $$n \perp \beta$$，故 $$\alpha \perp \beta$$。

B. 若 $$m \subset \alpha$$, $$n \subset \alpha$$, $$l \perp n$$，则 $$l \perp \alpha$$：错误。需 $$l$$ 垂直于 $$\alpha$$ 内两条相交直线。

C. 若 $$m \parallel \alpha$$, $$n \perp \beta$$ 且 $$\alpha \perp \beta$$，则 $$m \parallel n$$：错误。$$m$$ 和 $$n$$ 可能垂直或异面。

D. 若 $$l \perp \alpha$$ 且 $$l \perp \beta$$，则 $$\alpha \parallel \beta$$：正确。垂直于同一直线的两个平面平行。

正确的是A和D，但单选题可能设计为A正确（或D），需确认：A是正确命题，D也是正确命题，但选项可能单选，这里A符合。

严格判断：A正确，故选A（假设单选题）。