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正确率40.0%三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据$${{.}}$$三面角$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$是由有公共端点$${{P}}$$且不共面的三条射线$${{P}{A}}$$，$${{P}{B}}$$，$${{P}{C}}$$以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设$${{∠}{A}{P}{C}{=}{α}}$$，$${{∠}{B}{P}{C}{=}{β}}$$，$${{∠}{A}{P}{B}{=}{γ}}$$，平面$${{A}{P}{C}}$$与平面$${{B}{P}{C}}$$所成的角为$${{θ}}$$，由三面角余弦定理得$$\operatorname{c o s} \theta=\frac{\operatorname{c o s} \gamma-\operatorname{c o s} \alpha\cdot\operatorname{c o s} \beta} {\operatorname{s i n} \alpha\cdot\operatorname{s i n} \beta}$$$${{.}}$$在三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中，$${{P}{A}{=}{6}}$$，$${{∠}{A}{P}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}}$$，$${{∠}{B}{P}{C}{=}{{4}{5}^{∘}}}$$，$${{∠}{A}{P}{B}{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，$${{P}{B}{+}{P}{C}{=}{6}}$$，则三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$体积的最大值为（）
C
A.$$\frac{2 7 \sqrt{2}} {4}$$
B.$$\frac{2 7} {4}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$$\frac{9} {4}$$
4、['立体几何中的探索问题'， '立体几何中的截面、交线问题'， '立体几何中的动态问题']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{1}}$$，$${{P}}$$是空间中任意一点，有下列结论：
①若$${{P}}$$为棱$${{C}{C}_{1}}$$中点，则异面直线$${{A}{P}}$$与$${{C}{D}}$$所成角的正切值为$$\frac{\sqrt5} {2}$$；
②若$${{P}}$$在线段$${{A}_{1}{B}}$$上运动，则$${{A}{P}{+}{P}{{D}_{1}}}$$的最小值为$$\frac{\sqrt6+\sqrt2} {2}$$；
③若$${{P}}$$在以$${{C}{D}}$$为直径的球面上运动，当三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$体积最大时，三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$外接球的表面积为$${{2}{π}}$$；
④若过点$${{P}}$$的平面$${{α}}$$与正方体每条棱所成角相等，则$${{α}}$$截此正方体所得截面面积的最大值为$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$$${{.}}$$
其中正确结论的个数为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['立体几何中的探索问题']正确率40.0%已知长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$，动点$${{P}}$$到直线$${{A}{D}}$$的距离与到平面$${{B}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{C}}$$的距离相等，则$${{P}}$$在平面$${{C}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$上的轨迹是$${{(}{)}}$$
C
A.线段
B.椭圆一部分
C.抛物线一部分
D.双曲线一部分
9、['立体几何中的探索问题'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$棱长为$${{3}}$$，点$${{E}}$$在边$${{B}{C}}$$上，且满足$${{B}{E}{=}{2}{E}{C}}$$，动点$${{M}}$$在正方体表面上运动，并且总保持$${{M}{E}{⊥}{B}{{D}_{1}}}$$，则动点$${{M}}$$的轨迹的周长为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
以下是各题的详细解析：
3. 三棱锥体积最大值问题
已知三棱锥 $$P-ABC$$，设 $$PB = x$$，则 $$PC = 6 - x$$。根据三面角余弦定理，平面 $$APC$$ 与平面 $$BPC$$ 的夹角 $$θ$$ 满足：
$$\cos θ = \frac{\cos 90° - \cos 60° \cos 45°}{\sin 60° \sin 45°} = \frac{0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$
体积公式为 $$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC \cdot \sin θ$$。代入已知条件：
$$V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot x (6 - x) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = x(6 - x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$
当 $$x = 3$$ 时，$$V$$ 取得最大值 $$\frac{27}{4}$$。因此答案为 B。
4. 正方体结论判断
①：计算 $$AP$$ 与 $$CD$$ 的夹角正切值为 $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$，正确。
②：展开平面后，$$AP + PD_1$$ 的最小值为 $$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$$，正确。
③：当 $$P$$ 在 $$CD$$ 中点时，体积最大，外接球表面积为 $$2π$$，正确。
④：截面为正六边形时面积最大，为 $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$，正确。
因此有 4 个正确结论，答案为 A。
8. 动点轨迹问题
设长方体坐标系，动点 $$P$$ 到直线 $$AD$$ 的距离等于到平面 $$BB_1C_1C$$ 的距离，满足抛物线定义。在平面 $$CC_1D_1D$$ 上，轨迹为抛物线的一部分，答案为 C。
9. 动点轨迹周长问题
建立坐标系，设 $$E(2, 0, 0)$$，$$BD_1$$ 方向向量为 $$(3, 3, -3)$$。由 $$ME \perp BD_1$$，得 $$M$$ 满足 $$x + y - z = 2$$。轨迹在正方体表面形成六边形，周长为 $$4\sqrt{2}$$，答案为 C。