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正确率60.0%直四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的所有棱长均相等$$， \， \， \angle A D C=1 2 0^{\circ}， \， \， \， M$$是$${{B}{{B}_{1}}}$$上一动点，当$$A_{1} M+M C$$取得最小值时，直线$${{A}_{1}{M}}$$与$${{B}_{1}{C}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
5、['路径最短问题'， '二面角']正确率40.0%在$${{6}{0}^{∘}}$$的二面角$$\alpha-1-\beta$$内取点$${{A}}$$，在半平面$${{α}{，}{β}}$$内分别任取点$${{B}{，}{C}}$$，若点$${{A}}$$到棱$${{l}}$$的距离为$${{d}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {2}{d}}$$
B.$${\sqrt {3}{d}}$$
C.$${{2}{d}}$$
D.$${\sqrt {5}{d}}$$
7、['路径最短问题'， '圆柱的结构特征及其性质'， '旋转体的展开图']正确率60.0%圆柱的轴截面是边长为$${{5}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$，则圆柱侧面上从点$${{A}}$$到点$${{C}}$$的最短距离是（）
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$$\frac{5} {2} \sqrt{\pi^{2}+4}$$
C.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{5}{\sqrt {{π}^{2}{{+}{1}}}}}$$
第4题解析：
1. 由于直四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的所有棱长相等，设棱长为$$a$$。
2. 在底面$$ABCD$$中，$$\angle ADC=120^\circ$$，因此底面是一个菱形。
3. 将侧面展开为一个平面，计算$$A_1M + MC$$的最小值。展开后，$$A_1$$和$$C$$的连线即为最短路径。
4. 通过几何关系计算，当$$M$$为$$BB_1$$中点时，$$A_1M + MC$$取得最小值。
5. 计算直线$$A_1M$$与$$B_1C$$所成角的余弦值，利用向量法或空间几何关系可得结果为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$。
正确答案：A。
第5题解析：
1. 设二面角$$\alpha-l-\beta$$为$$60^\circ$$，点$$A$$到棱$$l$$的距离为$$d$$。
2. 将半平面$$\alpha$$和$$\beta$$展开为一个平面，此时点$$A$$关于棱$$l$$的对称点为$$A'$$。
3. 三角形$$ABC$$的周长等于$$AB + BC + CA$$，展开后最小值为$$AA'$$的长度。
4. 由于二面角为$$60^\circ$$，$$AA'$$的长度为$$2d \sin(60^\circ) = \sqrt{3}d$$。
正确答案：B。
第7题解析：
1. 圆柱的轴截面是边长为$$5$$的正方形，因此圆柱的高$$h=5$$，底面半径$$r=\frac{5}{2}$$。
2. 将圆柱侧面展开为一个矩形，其高度为$$5$$，宽度为$$2\pi r = 5\pi$$。
3. 点$$A$$到点$$C$$的最短距离为展开矩形的对角线长度。
4. 计算对角线长度：$$\sqrt{(5\pi)^2 + 5^2} = 5\sqrt{\pi^2 + 1}$$。
正确答案：D。