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正确率40.0%已知三棱柱$$A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}， \， \， \， A A^{\prime} \， \perp$$平面$$A B C， \， \， P$$是$$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$$内一点，点$${{E}{，}{F}}$$在直线$${{B}{C}}$$上运动，若直线$${{P}{A}}$$和$${{A}{E}}$$所成角的最小值与直线$${{P}{F}}$$和平面$${{A}{B}{C}}$$所成角的最大值相等，则满足条件的点$${{P}}$$的轨迹是$${{(}{)}}$$
C
A.直线的一部分
B.圆的一部分
C.抛物线的一部分
D.椭圆的一部分
7、['立体几何中的探索问题'， '棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$$1， ~ M， ~ N$$是对角线$${{A}{{C}_{1}}}$$上的两点，动点$${{P}}$$在正方体表面上且满足$$| P M |=| P N |$$，则动点$${{P}}$$的轨迹长度的最大值为（）
A
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
8、['棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{P}_{1}{，}{{P}_{2}}}$$分别是线段$$A B， ~ B D_{1}$$上(不含端点)的动点，且$$P_{1} P_{2} / \! / A_{1} \， A D D_{1}$$，则（）
D
A.几何体$$P_{1} P_{2} \， A B_{1}$$的体积无最大值
B.几何体$$P_{1} P_{2} \， A B_{1}$$的体积的最大值为$$\frac1 {1 2}$$
C.几何体$$P_{1} P_{2} \， A B_{1}$$的体积的存在最小值
D.几何体$$P_{1} P_{2} \， A B_{1}$$的体积的最大值为$$\frac{1} {2 4}$$
第2题解析：
1. 建立坐标系：设三棱柱$$ABC-A'B'C'$$的底面$$ABC$$在$$xy$$平面，$$AA'$$沿$$z$$轴方向，$$A$$在原点。
2. 设点$$P$$的坐标为$$(x_0, y_0, h)$$，其中$$h$$为$$A'B'C'$$平面的高度。
3. 直线$$PA$$的方向向量为$$(-x_0, -y_0, -h)$$。
4. 直线$$AE$$的方向向量为$$(x_E, y_E, 0)$$，其中$$E$$在$$BC$$上运动。
5. 两向量夹角$$\theta$$的最小值满足$$\cos\theta_{\text{min}} = \frac{h}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + h^2}}$$。
6. 直线$$PF$$与平面$$ABC$$的夹角$$\phi$$的最大值为$$\arcsin\left(\frac{h}{\sqrt{(x_0 - x_F)^2 + (y_0 - y_F)^2 + h^2}}\right)$$，当$$F$$趋近于$$BC$$的端点时取得极值。
7. 由题意$$\theta_{\text{min}} = \phi_{\text{max}}$$，化简得$$x_0^2 + y_0^2 = \text{常数}$$，即$$P$$的轨迹是圆的一部分。
答案：B
第7题解析：
1. 建立坐标系：设正方体顶点$$A(0,0,0)$$到$$D_1(1,1,1)$$，对角线$$AC_1$$的参数方程为$$(t,t,t)$$，$$t \in [0,1]$$。
2. 设$$M$$和$$N$$在$$AC_1$$上，坐标分别为$$(m,m,m)$$和$$(n,n,n)$$。
3. 点$$P$$满足$$|PM| = |PN|$$，即$$(x-m)^2 + (y-m)^2 + (z-m)^2 = (x-n)^2 + (y-n)^2 + (z-n)^2$$。
4. 化简得$$(x+y+z)(m-n) = m^2 - n^2$$，即$$x+y+z = m + n$$（平面方程）。
5. 该平面与正方体表面的交线为六边形，其边长通过计算可得最大长度为$$3\sqrt{2}$$。
答案：A
第8题解析：
1. 设$$P_1$$在$$AB$$上，坐标为$$(p,0,0)$$，$$p \in (0,1)$$。
2. $$P_2$$在$$BD_1$$上，坐标为$$(q,q,q)$$，$$q \in (0,1)$$。
3. 由$$P_1P_2 \parallel A_1ADD_1$$，得$$P_1P_2$$与平面$$A_1ADD_1$$平行，即$$P_1P_2$$的$$y$$坐标变化为0，故$$q = p$$。
4. 几何体$$P_1P_2AB_1$$的体积为四面体$$AB_1P_1P_2$$的体积，计算得$$V = \frac{1}{6} \cdot p^2(1-p)$$。
5. 求极值：对$$V(p)$$求导，得最大值在$$p = \frac{2}{3}$$时，$$V_{\text{max}} = \frac{1}{24}$$。
答案：D