立体几何中的四点共面、三点共线-立体几何初步的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题答案-福建省等高二数学必修,平均正确率52.0%

1、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '余弦定理及其应用'， '向量的数量积的定义']

正确率19.999999999999996%$${{A}{B}{C}{D}}$$是球$${{O}}$$内接正四面体，若球$${{O}}$$的半径为$${{1}}$$，则$$( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} ) \cdot( \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D} )=~ ($$）

A.$$\frac{4} {3}$$

B.$$- \frac{4} {3}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

2、['立体几何中的四点共面、三点共线']

正确率40.0%已知$$M， ~ A， ~ B， ~ C$$是空间任意四点，其中$$A， ~ B， ~ C$$三点不共线，对平面$${{A}{B}{C}}$$外的任一点$${{O}{，}}$$下列条件中不能确定点$$M， ~ A， ~ B， ~ C$$共面的是（）

A.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$

B.$$\overrightarrow{O M}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$

C.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\frac{1} {2} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{O C}$$

D.$$\overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$

3、['立体几何中的四点共面、三点共线']

正确率60.0%已知$$A， ~ B， ~ C$$三点不共线，对平面$${{A}{B}{C}}$$外的任意一点$${{O}{，}}$$下列条件中能确定点$$M， ~ A， ~ B， ~ C$$共面的是（）

A.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$$

B.$$\overrightarrow{O M}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$

C.$$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\frac{1} {2} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$

D.$$\overrightarrow{O M}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O C}$$

4、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '空间四边形'， '基本事实1'， '基本事实的推论']

正确率60.0%下列命题中正确的个数有（）
$${{(}{1}{)}}$$三条平行线最多可以确定$${{3}}$$个平面；
$${{(}{2}{)}}$$四条边都相等的四边形一定是菱形；
$${{(}{3}{)}}$$三条直线相交于一点，可以确定$${{1}}$$个或$${{3}}$$个平面；
$${{(}{4}{)}}$$若点$${{P}}$$不在平面$${{α}}$$内，点$$A. ~ B. ~ C$$三点均在$${{α}}$$内，则$$P_{\smallsetminus} \ A_{\smallsetminus} \ B_{\nsim} \ C$$四点一定不共面．

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

5、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '基本事实3'， '基本事实2'， '基本事实1']

正确率60.0%在空间给出下列命题（设$${{α}{、}{β}}$$表示平面，$${{l}}$$表示直线，$$A， ~ B， ~ C$$表示点）其中真命题有（）
$${（{1}{）}}$$若$$A \in l， \， \， \， A \in\alpha， \， \， \， B \in\alpha， \， \， \， B \in l$$，则$${{l}{⊂}{α}}$$
$${\bf( 2 )} \， \， \， A \in\alpha， \， \， \， A \in\beta， \， \， \， B \in\alpha， \， \， \， B \in\beta$$，则$$\alpha\cap\beta=A B$$
$${（{3}{）}}$$若$$l \not\subset\alpha， \， \， A \in l$$，则$${{A}{∉}{α}}$$
$${（{4}{）}}$$若$$A， ~ B， ~ C \in\alpha， ~ ~ A， ~ ~ B， ~ C \in\beta$$，且$$A. ~ B. ~ C$$不共线，则$${{α}}$$与$${{β}}$$重合．

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

6、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%在正方体中$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，若$${{G}}$$点是$${{△}{B}{{A}_{1}}{D}}$$的重心，且$$\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A D}+y \overrightarrow{A B}+z \overrightarrow{C C_{1}}，$$则$$x+y+z$$的值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{3}}$$

7、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '基本事实的推论']

正确率60.0%如图所示$$， P， ~ Q， ~ R， ~ S$$分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（）

8、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '立体几何中的截面、交线问题']

正确率40.0%如图，长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=1 6， \， \， B C=1 0， \， \， \， A a_{1}=8$$，点$${{E}{，}{F}}$$分别在$$A_{1} B_{1}， ~ D_{1} C_{1}$$上，$$A_{1} E=D_{1} F=4$$，过点$${{E}{，}{F}}$$的平面$${{α}}$$与此长方体的面相交，交线围成一个正方形$${{E}{F}{G}{B}}$$．则$${{H}{B}{=}}$$（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

9、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '立体几何中的截面、交线问题'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%在空间中，下列结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.空间三点确定一个平面

B.空间四点确定一个平面

C.直线和空间一点确定一个平面

D.过空间四点最多有四个平面

10、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%对于空间任意一点$${{O}}$$和不共线的三点$$A， B， C$$，有如下关系：$$6 \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}$$，则（）

A.四点$${{O}}$$，$${{A}}$$，$${{B}{，}{C}}$$必共面

B.四点$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}{，}{C}}$$必共面

C.四点$${{O}}$$，$$P， ~ B， ~ C$$必共面

D.五点$${{O}}$$，$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}{，}{C}}$$必共面

1. 解析：

设正四面体 $ABCD$ 的边长为 $a$，球心 $O$ 为其中心。根据正四面体的性质，可得 $OA = OB = OC = OD = 1$。利用向量运算的性质：

$$( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ) \cdot ( \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD}$$

由于 $O$ 是中心，各向量夹角相同，设 $\theta$ 为两向量夹角，则：

$$\cos \theta = -\frac{1}{3}$$

因此：

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = 1 \times 1 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}$$

总和为：

$$4 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{3}$$

故选 $B$。

2. 解析：

四点 $M, A, B, C$ 共面的条件是存在实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$，使得：

$$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC}$$

逐一分析选项：

$A$：系数和为 $1 + 1 - 1 = 1$，共面；

$B$：系数和为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$，共面；

$C$：系数和为 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \neq 1$，不共面；

$D$：系数和为 $3 - 1 - 1 = 1$，共面。

故选 $C$。

3. 解析：

同第2题，共面条件为系数和为1。分析选项：

$A$：系数和为 $1 + 1 + 1 = 3 \neq 1$；

$B$：系数和为 $2 - 1 - 1 = 0 \neq 1$；

$C$：系数和为 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \neq 1$；

$D$：系数和为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$，共面。

故选 $D$。

4. 解析：

逐一分析命题：

$(1)$ 三条平行线可以确定1个或3个平面，错误；

$(2)$ 四条边都相等的四边形可以是空间四边形，不一定是菱形，错误；

$(3)$ 三条直线相交于一点，可以确定1个或3个平面，正确；

$(4)$ 若 $P$ 不在平面 $\alpha$ 内，但 $P$ 可能在 $A, B, C$ 确定的平面内，错误。

只有 $(3)$ 正确，故选 $A$。

5. 解析：

逐一分析命题：

$(1)$ 由公理知 $l \subset \alpha$，正确；

$(2)$ 由公理知 $\alpha \cap \beta = AB$，正确；

$(3)$ $l \not\subset \alpha$ 但 $A$ 可能在 $\alpha$ 内，错误；

$(4)$ 由公理知 $\alpha$ 与 $\beta$ 重合，正确。

共3个正确，故选 $C$。

6. 解析：

设正方体边长为1，重心 $G$ 坐标为 $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$。向量 $\overrightarrow{AG} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$，而 $\overrightarrow{AD} = (1, 0, 0)$，$\overrightarrow{AB} = (0, 1, 0)$，$\overrightarrow{CC_1} = (0, 0, 1)$。因此：

$$x = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = \frac{1}{3}$$

故 $x + y + z = 1$，选 $B$。

7. 解析：

通过空间几何分析，选项 $D$ 中的四点 $P, Q, R, S$ 不在同一平面内。故选 $D$。

8. 解析：

由题意，正方形边长为 $EF = \sqrt{(10-4-4)^2 + 8^2} = 8$。设 $HB = x$，则 $GH = 8 - x$，根据勾股定理：

$$x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$$

解得 $x = 7$。故选 $B$。

9. 解析：

空间三点共线时不确定平面，$A$ 错误；空间四点可能共面或共线，$B$ 错误；直线和一点确定一个平面，$C$ 正确；空间四点最多确定四个平面，$D$ 正确。但题目要求“正确的是”，故最符合的是 $D$。

10. 解析：

将关系式变形：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC}$$

系数和为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1$，故四点 $P, A, B, C$ 共面。选 $B$。

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