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正确率80.0%圆柱的轴截面$${{(}}$$经过圆柱的轴所作的截面$${{)}}$$是边长为$${{5}{c}{m}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$，则圆柱侧面上从$${{A}}$$到$${{C}}$$的最短距离为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{0}{c}{m}}$$
B.$$\frac{5} {2} \sqrt{\pi^{2}+4}$$$${{c}{m}}$$
C.$${{5}{\sqrt {2}}}$$$${{c}{m}}$$
D.$${{5}{\sqrt {{π}^{2}{+}{1}}}}$$$${{c}{m}}$$
8、['路径最短问题'， '棱锥的结构特征及其性质']正确率40.0%已知正三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{（}}$$顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为$${{3}{0}^{∘}}$$腰长为$${{2}}$$的等腰三角形，若过$${{A}}$$的截面与棱$${{P}{B}{，}{P}{C}}$$分别交于点$${{D}}$$和点$${{E}}$$，则截面$${{△}{A}{D}{E}}$$周长的最小值是（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
第3题解析：
圆柱的轴截面是边长为$$5 \text{cm}$$的正方形$$ABCD$$，说明圆柱的高$$h = 5 \text{cm}$$，底面直径$$d = 5 \text{cm}$$，因此底面半径$$r = \frac{5}{2} \text{cm}$$。
将圆柱侧面展开为矩形，其高度为$$5 \text{cm}$$，宽度为底面周长$$2πr = 5π \text{cm}$$。点$$A$$和$$C$$在展开图中的坐标分别为$$(0, 0)$$和$$(\frac{5π}{2}, 5)$$（因为$$C$$位于轴截面的对角位置）。
最短距离为两点之间的直线距离：
$$AC = \sqrt{\left(\frac{5π}{2}\right)^2 + 5^2} = \sqrt{\frac{25π^2}{4} + 25} = \frac{5}{2}\sqrt{π^2 + 4} \text{cm}$$
因此，正确答案是选项 B。
第8题解析：
正三棱锥$$P-ABC$$的侧面是顶角为$$30^\circ$$、腰长为$$2$$的等腰三角形。通过几何分析，底面边长$$a$$可由余弦定理求出：
$$a^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \cos 30^\circ = 8 - 4\sqrt{3}$$
将三棱锥侧面展开成平面图形，点$$A$$固定，点$$D$$和$$E$$分别在展开的棱$$PB$$和$$PC$$上。由于侧面顶角为$$30^\circ$$，展开后三个侧面形成一个$$90^\circ$$的扇形（因为$$3 \times 30^\circ = 90^\circ$$）。
在展开图中，$$A$$到$$A'$$（第三个侧面的$$A$$点）的直线距离即为$$△ADE$$周长的最小值。利用扇形半径$$2$$和圆心角$$90^\circ$$，通过勾股定理计算：
$$AA' = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$$
因此，截面$$△ADE$$周长的最小值为$$2\sqrt{2}$$，正确答案是选项 D。