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正确率60.0%直四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的所有棱长均相等$$， \， \， \angle A D C=1 2 0^{\circ}， \， \， \， M$$是$${{B}{{B}_{1}}}$$上一动点，当$$A_{1} M+M C$$取得最小值时，直线$${{A}_{1}{M}}$$与$${{B}_{1}{C}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
5、['路径最短问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题']正确率40.0%已知正四面体$$P-A B C$$的棱长为$${{2}{，}{D}}$$为$${{P}{A}}$$的中点，$${{E}{，}{F}}$$分别是线段$$A B， ~ P C ($$含端点)边上的动点，则$$D E+D F$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
7、['路径最短问题'， '圆柱的结构特征及其性质'， '旋转体的展开图']正确率60.0%圆柱的轴截面是边长为$${{5}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$，则圆柱侧面上从点$${{A}}$$到点$${{C}}$$的最短距离是（）
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$$\frac{5} {2} \sqrt{\pi^{2}+4}$$
C.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{5}{\sqrt {{π}^{2}{{+}{1}}}}}$$
9、['路径最短问题'， '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%在棱长为$${{2}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}-( x+y-1 ) \overrightarrow{A D}， \: \: N$$为$${{A}{C}}$$的中点，当$${{A}{M}}$$最短时，$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{M N}=$$
A
A.$$- \frac{4} {3}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
第3题解析：
1. 直四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的棱长均相等，设棱长为1。由于$$\angle ADC=120^\circ$$，底面$$ABCD$$为菱形。
2. 将侧面展开成平面，使$$A_1$$和$$C$$在同一平面上。展开后，$$A_1$$的位置为$$A_0$$，$$C$$的位置为$$C_0$$。计算$$A_0C_0$$的长度即为$$A_1M + MC$$的最小值。
3. 展开后，$$A_0C_0$$的路径为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算得$$A_0C_0 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}$$。
4. 计算直线$$A_1M$$与$$B_1C$$的夹角余弦，利用向量法或几何关系，最终结果为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$。
答案：$$A$$
第5题解析：
1. 正四面体$$P-ABC$$的棱长为2，点$$D$$为$$PA$$的中点，坐标为$$(1, 0, 0)$$。
2. 设点$$E$$在$$AB$$上，坐标为$$(t, t, 0)$$，点$$F$$在$$PC$$上，坐标为$$(0, s, s)$$，其中$$t \in [0, 1]$$，$$s \in [0, 1]$$。
3. 计算$$DE + DF$$的表达式，利用距离公式和对称性，最小值为当$$E$$和$$F$$位于中点时取得，即$$DE + DF = 2 \times \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$。
答案：$$A$$
第7题解析：
1. 圆柱的轴截面是边长为5的正方形，说明圆柱的高$$h=5$$，底面半径$$r=\frac{5}{2}$$。
2. 将圆柱侧面展开成矩形，高度为5，宽度为$$2\pi r = 5\pi$$。
3. 点$$A$$到点$$C$$的最短距离为展开图中直线距离，利用勾股定理计算得$$\sqrt{(5\pi/2)^2 + 5^2} = \frac{5}{2}\sqrt{\pi^2 + 4}$$。
答案：$$B$$
第9题解析：
1. 正四面体$$ABCD$$的棱长为2，设点$$A$$在原点，向量$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AC}$$、$$\overrightarrow{AD}$$分别为$$\mathbf{b}$$、$$\mathbf{c}$$、$$\mathbf{d}$$。
2. 点$$M$$满足$$\overrightarrow{AM} = x\mathbf{b} + y\mathbf{c} - (x+y-1)\mathbf{d}$$。当$$AM$$最短时，$$\overrightarrow{AM}$$垂直于$$M$$所在的平面，即$$x = y = \frac{1}{3}$$。
3. 点$$N$$为$$AC$$的中点，坐标为$$\frac{\mathbf{c}}{2}$$。
4. 计算$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MN}$$，代入$$x = y = \frac{1}{3}$$，得到结果为$$-\frac{4}{3}$$。
答案：$$A$$