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正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{1}}$$，$${{P}}$$是空间中任意一点，有下列结论：
①若$${{P}}$$为棱$${{C}{C}_{1}}$$中点，则异面直线$${{A}{P}}$$与$${{C}{D}}$$所成角的正切值为$$\frac{\sqrt5} {2}$$；
②若$${{P}}$$在线段$${{A}_{1}{B}}$$上运动，则$${{A}{P}{+}{P}{{D}_{1}}}$$的最小值为$$\frac{\sqrt6+\sqrt2} {2}$$；
③若$${{P}}$$在以$${{C}{D}}$$为直径的球面上运动，当三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$体积最大时，三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$外接球的表面积为$${{2}{π}}$$；
④若过点$${{P}}$$的平面$${{α}}$$与正方体每条棱所成角相等，则$${{α}}$$截此正方体所得截面面积的最大值为$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$$${{.}}$$
其中正确结论的个数为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
3、['棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的探索问题'， '圆锥的结构特征及其性质'， '椭圆的其他性质'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%棱长为$${{a}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{P}}$$在平面$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$内运动，点$${{B}_{1}}$$到直线$${{D}{P}}$$的距离为定值，若动点$${{P}}$$的轨迹为椭圆，则此定值可能为（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2} a$$
B.$${\sqrt {3}{a}}$$
C.$${\sqrt {6}{a}}$$
D.$${\frac{\sqrt6} {2}} a$$
4、['立体几何中的探索问题'， '二面角']正确率40.0%在平面$${{α}}$$内，已知$${{A}{B}{⊥}{B}{C}}$$，过直线$${{A}{B}{，}{B}{C}}$$分别作平面$${{β}{，}{γ}{，}}$$使锐二面角$${{α}{−}{A}{B}{−}{β}}$$为$$\frac{\pi} {3}，$$锐二面角$${{α}{−}{B}{C}{−}{γ}}$$为$$\frac{\pi} {3}，$$则平面$${{β}}$$与平面$${{γ}}$$所成的锐二面角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
8、['立体几何中的探索问题'， '立体几何中的截面、交线问题'， '数学探究活动（一）：正方体截面探究']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的体积为$${{1}}$$，点$${{M}}$$在线段$${{B}{C}}$$上(点$${{M}}$$异于点$${{B}{，}{C}{)}}$$，点$${{N}}$$为线段$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，若平面$${{A}{M}{N}}$$截正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$所得的截面为四边形，则线段$${{B}{M}}$$长的取值范围为（）
$$None$$
D
A.$$[ \frac{1} {6}， \frac{1} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {3}， \frac{2} {3} ]$$
C.$$( 0， \frac{1} {3} ]$$
D.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
9、['立体几何中的探索问题'， '二面角'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率0.0%已知菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$边长为$${{2}}$$，$${{∠}{A}{B}{C}{=}{{6}{0}}{°}}$$，沿角线$${{A}{C}}$$折叠成三棱锥$${{B}^{′}{−}{A}{C}{D}}$$，使得二面角$${{B}^{′}{−}{A}{C}{−}{D}}$$为$${{6}{0}{°}}$$，设$${{E}}$$为$${{B}^{′}{C}}$$的中点，$${{F}}$$为三棱锥$${{B}^{′}{−}{A}{C}{D}}$$表面上动点，且总满足$${{A}{C}{⊥}{E}{F}}$$，则点$${{F}}$$轨迹的长度为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
① 设正方体顶点坐标，$$A(0,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$P(1,1,0.5)$$。向量$$\vec{AP}=(1,1,0.5)$$，$$\vec{CD}=(-1,0,0)$$。夹角$$\theta$$满足$$\cos\theta=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{CD}|}{|\vec{AP}||\vec{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{2.25}}=\frac{2}{3}$$，则$$\tan\theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$$，正确。
② 将$$A_1B$$展开到平面，$$A_1(0,0,1)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$。$$AP+PD_1$$的最小值为$$AD_1$$在展开图中的直线距离，计算得$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$，正确。
③ 当$$P$$在$$CD$$中点时，体积最大。外接球半径$$R=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，表面积$$2\pi$$，正确。
④ 平面$$\alpha$$与各棱成等角时，截面为正六边形或三角形。最大面积为正六边形$$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$，正确。
综上，选$$A$$。
3. 解析：
设$$P$$在平面$$A_1B_1C_1D_1$$内运动，$$B_1$$到$$DP$$的距离为定值，说明$$P$$的轨迹是$$DP$$为母线的圆锥与平面的交线。若轨迹为椭圆，则定距离需满足圆锥的高$$<\text{距离} < \text{母线长}$$。计算得$$B_1$$到$$DP$$的距离可能为$$\frac{\sqrt{6}}{2}a$$，选$$D$$。
4. 解析：
设平面$$\alpha$$为$$xy$$平面，$$AB$$沿$$x$$轴，$$BC$$沿$$y$$轴。二面角$$\alpha-AB-\beta$$为$$\frac{\pi}{3}$$，则$$\beta$$的法向量为$$(0,\sqrt{3},1)$$；同理$$\gamma$$的法向量为$$(\sqrt{3},0,1)$$。两平面夹角$$\theta$$满足$$\cos\theta=\frac{1}{4}$$，选$$A$$。
8. 解析：
截面为四边形时，$$BM$$需满足$$MN$$与$$AD$$不平行。设$$BM=x$$，$$N(1,1,0.5)$$，$$M(1,x,0)$$。当$$x \leq \frac{1}{3}$$时，截面为四边形。因此$$BM \in (0, \frac{1}{3}]$$，选$$C$$。
9. 解析：
折叠后二面角为$$60^\circ$$，$$E$$为$$B'C$$中点。$$AC \perp EF$$的轨迹为$$AC$$的垂直平面与三棱锥的交线，形成三条线段，总长$$2\sqrt{3}$$，选$$A$$。