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正确率60.0%侧棱和底面垂直的三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的六个顶点都在球$${{O}}$$的球面上，若$${{A}{C}{=}{1}{，}{B}{C}{=}{3}{，}{∠}{A}{C}{B}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{{C}_{1}}{C}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，则球$${{O}}$$的表面积为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{8 \pi} {3}$$
B.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$
C.$$\frac{2 8 \pi} {3}$$
D.$$\frac{6 4 \pi} {3}$$
2、['与球有关的切、接问题']正确率40.0%已知四面体$${{S}{−}{A}{B}{C}}$$中的所有棱长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，球$${{O}_{1}}$$是其内切球．若在该四面体中再放入一个球$${{O}_{2}}$$，使其与平面$${{S}{A}{B}}$$，平面$${{S}{B}{C}}$$，平面$${{S}{A}{C}}$$以及球$${{O}_{1}}$$均相切，则球$${{O}_{2}}$$与球$${{O}_{1}}$$的半径之比为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
4、['棱锥的结构特征及其性质'， '球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率60.0%正三棱锥$${{S}{−}{A}{B}{C}}$$中，若三条侧棱两两垂直，且顶点$${{S}}$$到底面$${{A}{B}{C}}$$的距离为$${\sqrt {3}{，}}$$则这个正三棱锥外接球的体积为
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2} \pi$$
B.$${\sqrt {3}{π}}$$
C.$${{2}{7}{\sqrt {3}}{π}}$$
D.$$\frac{2 7 \sqrt{3}} {2} \pi$$
6、['球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率40.0%已知正三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为$${{4}}$$，侧棱长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，则该正三棱柱外接球的表面积为（）
B
A.$$\frac{2 5 \pi} {3}$$
B.$$\frac{1 0 0 \pi} {3}$$
C.$${{2}{5}{π}}$$
D.$${{1}{0}{0}{π}}$$
7、['类比推理'， '球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率40.0%长$${、}$$宽分别为$${{a}{，}{b}}$$的矩形的外接圆的面积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \ a^{2}+b^{2} )$$将此结论类比到空间中，正确的距离为（）
D
A.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的长方体的外接球的半径为$$\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} {2}$$
B.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的表面积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \hfill a^{2}+b^{2}+c^{2} )$$
C.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的体积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \ a^{3}+b^{3}+c^{3} )$$
D.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的表面积为$${{π}{（}{{a}^{2}}{+}{{b}^{2}}{+}{{c}^{2}}{）}}$$
8、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%已知$${{S}{、}{A}{、}{B}{、}{C}}$$是球$${{O}}$$表面上的点，$${{S}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}{A}{B}{⊥}{B}{C}{，}{S}{A}{=}{A}{B}{=}{1}{，}{B}{C}{=}{\sqrt {2}}}$$.则球$${{O}}$$的表面积为
A
A.$${{4}{π}}$$
B.$${{6}{π}}$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$${{1}{0}{π}}$$
9、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%若长方体的一个顶点上的三条棱长分别是$${{3}{，}{4}{，}{5}}$$，且它的$${{8}}$$个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）
B
A.$${{2}{5}{π}}$$
B.$${{5}{0}{π}}$$
C.$${{1}{2}{5}{π}}$$
D.都不对
10、['球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率40.0%将边长为$${\sqrt {2}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折起，则三棱锥$${{C}{−}{A}{B}{D}}$$的外接球体积为（）
C
A.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$
C.$$\frac{4 \pi} {3}$$
D.$${{4}{π}}$$
1. 解析：
首先确定三棱柱的几何性质。已知侧棱 $$C_1C = 2\sqrt{3}$$ 与底面垂直，因此三棱柱的高为 $$2\sqrt{3}$$。底面三角形 $$ABC$$ 中，$$AC=1$$，$$BC=3$$，$$\angle ACB = 60^\circ$$。利用余弦定理计算 $$AB$$：
$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 60^\circ = 1 + 9 - 3 = 7$$，故 $$AB = \sqrt{7}$$。
由于三棱柱的六个顶点都在球面上，球心为上下底面三角形外接圆圆心的中点。计算底面三角形 $$ABC$$ 的外接圆半径 $$R$$：
利用正弦定理：$$2R = \frac{AB}{\sin C} = \frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$$，所以 $$R = \frac{\sqrt{21}}{3}$$。
球心到任一顶点的距离即为球的半径。设球心为 $$O$$，则 $$OA = \sqrt{R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{21}}{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{21}{9} + 3} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$。
球的表面积为 $$4\pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{64\pi}{3}$$，故选 D。
2. 解析：
四面体 $$S-ABC$$ 的所有棱长为 $$2\sqrt{3}$$，说明其为正四面体。内切球半径 $$r_1$$ 公式为：
$$r_1 = \frac{a \sqrt{6}}{12} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
再放入球 $$O_2$$，使其与三个侧面及内切球 $$O_1$$ 相切。由于对称性，球 $$O_2$$ 的球心在正四面体的中心，且半径 $$r_2$$ 满足比例关系。根据几何性质，$$r_2 = \frac{1}{3} r_1$$，故选 C。
4. 解析：
正三棱锥 $$S-ABC$$ 的三条侧棱两两垂直，说明其顶点 $$S$$ 处的三个面均为直角三角形。设侧棱长为 $$a$$，则底面三角形 $$ABC$$ 的边长为 $$a\sqrt{2}$$。
顶点 $$S$$ 到底面的距离为 $$\sqrt{3}$$。利用体积法：
$$\frac{1}{3} \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}$$，解得 $$a = 3$$。
外接球半径 $$R$$ 为长方体对角线的一半：
$$R = \frac{\sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$。
外接球体积为 $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{27\sqrt{3}}{2}\pi$$，故选 D。
6. 解析：
正三棱柱 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 的底面边长为 $$4$$，侧棱长为 $$2\sqrt{3}$$。底面三角形的外接圆半径 $$R$$ 为：
$$R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$。
球心为上下底面外接圆圆心的中点，球的半径 $$R_{\text{球}}$$ 为：
$$R_{\text{球}} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{9} + 3} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$。
球的表面积为 $$4\pi R_{\text{球}}^2 = \frac{100\pi}{3}$$，故选 B。
7. 解析：
将平面结论类比到空间，长方体的外接球半径为对角线的一半：
$$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$$，故选 A。
8. 解析：
点 $$S$$、$$A$$、$$B$$、$$C$$ 在球面上，且 $$SA \perp$$ 平面 $$ABC$$，$$AB \perp BC$$，$$SA=AB=1$$，$$BC=\sqrt{2}$$。将几何体补成长方体，其对角线为球的直径：
$$d = \sqrt{SA^2 + AB^2 + BC^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = 2$$，故半径 $$R=1$$。
球的表面积为 $$4\pi R^2 = 4\pi$$，故选 A。
9. 解析：
长方体的对角线长为 $$\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$，故球的半径 $$R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$。
球的表面积为 $$4\pi R^2 = 50\pi$$，故选 B。
10. 解析：
正方形 $$ABCD$$ 边长为 $$\sqrt{2}$$，对角线 $$BD=2$$。折叠后，三棱锥 $$C-ABD$$ 的外接球直径即为 $$AC$$ 的长度：
$$AC = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$，故半径 $$R=1$$。
球的体积为 $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4\pi}{3}$$，故选 C。