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正确率40.0%小蚂蚁的家住在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的$${{A}}$$处，小蚂蚁的奶奶家住在$${{C}_{1}}$$处，三条棱长分别是$${{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，$${{A}{B}{=}{2}}$$，$${{A}{D}{=}{4}}$$，小蚂蚁从$${{A}}$$点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家$${{C}_{1}}$$的最短距离是（ ）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${\sqrt {{2}{9}}}$$
D.$${\sqrt {{3}{7}}}$$
9、['路径最短问题'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%已知抛物线$$x^{2}=4 y$$的焦点$${{F}}$$和点$$A (-1， 8 )， \， \， P$$为抛物线上一点，则$$| P A |+| P F |$$的最小值是（）
C
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{6}}$$
第5题解析：
小蚂蚁从点$$A$$到点$$C_1$$的最短路径是长方体的表面展开后的直线距离。将长方体展开成平面图形，有以下三种展开方式：
1. 展开前面和上面：路径为$$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow C_1$$，距离为$$AB + BC + CC_1 = 2 + 4 + 1 = 7$$。
2. 展开前面和右面：路径为$$A \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow C_1$$，距离为$$AD + DC + CC_1 = 4 + 2 + 1 = 7$$。
3. 展开前面和底面：路径为对角线$$A \rightarrow C_1$$，此时展开后的距离为直角三角形的斜边，直角边分别为$$AB + BC = 2 + 4 = 6$$和$$AA_1 = 1$$，距离为$$\sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$$。
比较三种情况，最短距离为$$5$$（对应展开方式未列出但计算后存在更优解），但题目选项中最接近且合理的答案是$$\sqrt{29}$$（对应另一种展开方式）。进一步分析：
另一种展开方式是将前面和后面展开，形成矩形，此时路径为$$A \rightarrow B_1 \rightarrow C_1$$，距离为$$\sqrt{(2+1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$。
因此，最短距离为$$5$$，对应选项A。
第9题解析：
抛物线$$x^2 = 4y$$的焦点为$$F(0,1)$$。点$$A(-1,8)$$在抛物线外部。
利用抛物线的性质，点$$P$$在抛物线上，有$$|PF|$$等于$$P$$到准线$$y = -1$$的距离。因此，$$|PA| + |PF|$$的最小值为$$|PA| + \text{（到准线的距离）}$$的最小值。
当$$P$$、$$A$$和焦点$$F$$共线时，距离最小。计算$$A$$到准线的距离为$$8 - (-1) = 9$$。
但更准确的方法是找到$$A$$关于准线的对称点$$A'(-1,-10)$$，然后求$$|A'F|$$：
$$|A'F| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - (-10))^2} = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122}$$，但这与选项不符。
重新考虑几何意义，最小值为$$A$$到准线的距离减去焦点到准线的距离，即$$9 - 2 = 7$$，但选项中没有。
正确方法是直接求$$A$$到焦点$$F$$的距离：$$|AF| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$，也不匹配。
实际上，最小值为$$A$$的纵坐标减去准线的纵坐标：$$8 - (-1) = 9$$，对应选项C。