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正确率40.0%已知正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{4}{，}}$$空间中的动点$${{P}}$$满足$$| \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} |=2 \sqrt{2}，$$则$$\overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{P D}$$的取值范围为（）
D
A.$$[ 4-2 \sqrt{3}， ~ 4+2 \sqrt{3} ]$$
B.$$[ \sqrt{2}， ~ 3 \sqrt{2} ]$$
C.$$[ 4-3 \sqrt{2}， ~ 4-\sqrt{2} ]$$
D.$$[-1 4， ~ 2 ]$$
2、['直线与平面所成的角'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%如图，点$${{P}}$$是棱长为$${{2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$表面上的一个动点，直线$${{A}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$${{4}{5}^{∘}{，}}$$则点$${{P}}$$的轨迹长度为（）
A
A.$${{π}{+}{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}{π}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}{+}{π}}$$
3、['立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%如图，已知直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的底面是边长为$${{2}}$$的正三角形，侧棱长为$$2. E， ~ F$$分别是侧面$${{A}{C}{{C}_{1}}{{A}_{1}}}$$和侧面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$上的动点，满足二面角$$A-E F-A_{1}$$为直二面角.若点$${{P}}$$在线段$${{E}{F}}$$上，且$$A P \perp E F，$$则点$${{P}}$$的轨迹的面积是（）
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{4 \pi} {3}$$
D.$$\frac{8 \pi} {3}$$
4、['立体几何中的截面、交线问题'， '椭圆的定义'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%如图，$${{A}}$$为平面$${{α}}$$内一定点，$${{A}{B}}$$是平面$${{α}}$$的定长斜线段，$${{A}}$$为斜足，若点$${{P}}$$在平面$${{α}}$$内运动，使$${{△}{A}{B}{P}}$$面积为定值，则动点$${{P}}$$的轨迹是（）
D
A.圆
B.两条平行线
C.一条直线
D.椭圆
5、['异面直线所成的角'， '立体几何中的动态问题'， '抛物线的定义'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%如图，点$${{M}}$$是正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中的侧面$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$内(包括边界)的一个动点，则下列结论错误的是（）
B
A.满足$$B M \perp A_{1} D$$的点$${{M}}$$的轨迹是一条线段
B.在线段$${{A}{{D}_{1}}}$$上存在点$${{M}{，}}$$使异面直线$${{B}_{1}{M}}$$与$${{C}{D}}$$所成的角是$${{3}{0}^{∘}}$$
C.若正方体的棱长为$${{1}{，}}$$三棱锥$$B-C_{1} \， M D$$的体积的最大值为$$\frac{1} {3}$$
D.点$${{M}}$$存在无数个位置满足其到直线$${{A}{D}}$$和直线$${{C}_{1}{{D}_{1}}}$$的距离相等
6、['立体几何中的动态问题'， '直线与平面所成的角'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%在四棱锥$$P-A B C D$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，$${{P}{A}{=}{2}}$$，点$${{M}}$$是矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$内(含边界)的动点，且$${{A}{B}{=}{1}}$$，$${{A}{D}{=}{3}}$$，直线$${{P}{M}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$$\frac{\pi} {4}.$$记点$${{M}}$$的轨迹长度为$${{α}}$$，则$$\operatorname{t a n} \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['求曲线的方程'， '根据方程研究曲线的性质'， '立体几何中的轨迹问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知平面$$A B C D \perp$$平面$$A D E F， \， \， \， A B \perp A D， \， \， \， C D \perp A D$$，且$$A B=1， \， \， \， A D=C D=2， \， \， \， A D E F$$是正方形，在正方形$${{A}{D}{E}{F}}$$内部有一点$${{M}}$$，满足$$M B， ~ M C$$与平面$${{A}{D}{E}{F}}$$所成的角相等，则点$${{M}}$$的轨迹长度为（）
C
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{1 6} {3}$$
C.$$\frac{4} {9} \pi$$
D.$$\frac{8} {3} \pi$$
8、['立体几何中的轨迹问题']正确率60.0%如图，半径为$${{1}}$$的半圆$${{O}}$$与等边三角形$${{A}{B}{C}}$$夹在两平行线$${{ℓ}_{1}{，}{{ℓ}_{2}}}$$之间，$$\ell/ / \ell_{1}， ~ \ell$$与半圆交于$${{F}{，}{G}}$$两点，与三角形$${{A}{B}{C}}$$两边交于$${{E}{，}{D}}$$两点．设弧$$\overbrace{F G}$$的长为$$x ( 0 < x < \pi)， \， \， \， y=E B+B C+C D$$，若$${{ℓ}}$$从$${{ℓ}_{1}}$$平行移动到$${{ℓ}_{2}{，}}$$则函数$$y=f ( x )$$的图象大致是$${{(}{)}}$$
D
A.
B.
C.
D.
正确率40.0%在三棱台$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，点$${{D}}$$在$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$上，且$$A A_{1} / / B D，$$点$${{M}}$$是$${{△}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$内(含边界)的一个动点，且平面$$B D M / /$$平面$$A_{1} C_{1} C A，$$则动点$${{M}}$$的轨迹是（）
C
A.平面
B.直线
C.线段，但只含$${{1}}$$个端点
D.圆
10、['平面与平面垂直的性质定理'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%如图，$${{△}{P}{A}{B}}$$所在的平面$${{α}}$$和四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$所在的平面$${{β}}$$垂直，且$$A D \perp\alpha， ~ B C \perp\alpha，$$$$A D=4，$$$$B C=8，$$$$A B=6，$$$$\angle A P D=\angle C P B$$，则点$${{P}}$$在平面$${{α}}$$内的轨迹是（）
A
A.圆的一部分
B.一条直线
C.一条射线
D.两条直线
1. 题目解析：
首先，正四面体 $$ABCD$$ 的棱长为 $$4$$。设 $$G$$ 为底面 $$BCD$$ 的重心，则 $$AG$$ 为高，计算得 $$AG = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$。
由条件 $$|\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = 2\sqrt{2}$$，可得 $$|2\overrightarrow{PG}| = 2\sqrt{2}$$，即 $$PG = \sqrt{2}$$。
因此，点 $$P$$ 在以 $$G$$ 为中心、半径为 $$\sqrt{2}$$ 的球面上。
向量 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PD} = \overrightarrow{AP} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AD} - |\overrightarrow{AP}|^2$$。
设 $$\theta$$ 为 $$\overrightarrow{AP}$$ 与 $$\overrightarrow{AD}$$ 的夹角，则表达式为 $$|\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cos \theta - |\overrightarrow{AP}|^2$$。
由于 $$P$$ 在球面上，$$|\overrightarrow{AP}|$$ 的范围为 $$[AG - PG, AG + PG] = \left[\frac{4\sqrt{6}}{3} - \sqrt{2}, \frac{4\sqrt{6}}{3} + \sqrt{2}\right]$$。
通过极值分析，可得 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PD}$$ 的范围为 $$[4 - 3\sqrt{2}, 4 - \sqrt{2}]$$，对应选项 C。
2. 题目解析：
点 $$P$$ 在正方体表面，直线 $$AP$$ 与平面 $$ABCD$$ 的夹角为 $$45^\circ$$，即 $$\angle PAB = 45^\circ$$。
在底面 $$ABCD$$ 上，$$P$$ 的轨迹是以 $$A$$ 为圆心、半径为 $$2$$ 的四分之一圆，长度为 $$\pi$$。
在侧面 $$AA_1D_1D$$ 和 $$AA_1B_1B$$ 上，$$P$$ 的轨迹是两条直线段，长度为 $$2\sqrt{2}$$ 每条，总长度为 $$4\sqrt{2}$$。
因此，总轨迹长度为 $$\pi + 4\sqrt{2}$$，对应选项 A。
3. 题目解析：
直三棱柱 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 的底面是边长为 $$2$$ 的正三角形，侧棱长为 $$2$$。
二面角 $$A-EF-A_1$$ 为直二面角，说明平面 $$AEF$$ 与平面 $$A_1EF$$ 垂直。
点 $$P$$ 满足 $$AP \perp EF$$，其轨迹是平面 $$AEF$$ 与平面 $$A_1EF$$ 的交线在 $$EF$$ 上的投影。
通过几何分析，轨迹是一个圆的一部分，面积为 $$\frac{4\pi}{3}$$，对应选项 C。
4. 题目解析：
点 $$P$$ 在平面 $$\alpha$$ 内，且 $$\triangle ABP$$ 面积为定值，即 $$P$$ 到直线 $$AB$$ 的距离为定值。
因此，$$P$$ 的轨迹是与 $$AB$$ 平行的两条直线，对应选项 B。
5. 题目解析：
选项 A：$$BM \perp A_1D$$ 的轨迹是线段，正确。
选项 B：存在点 $$M$$ 使异面直线 $$B_1M$$ 与 $$CD$$ 所成角为 $$30^\circ$$，正确。
选项 C：三棱锥 $$B-C_1MD$$ 的体积最大值为 $$\frac{1}{3}$$，正确。
选项 D：点 $$M$$ 到直线 $$AD$$ 和 $$C_1D_1$$ 的距离相等的轨迹是抛物线的一部分，有无数个点，正确。
题目要求选择错误结论，但所有选项均正确，可能是题目描述有误。
6. 题目解析：
四棱锥 $$P-ABCD$$ 中，$$PA \perp$$ 平面 $$ABCD$$，$$PA = 2$$，矩形 $$ABCD$$ 的边长为 $$AB = 1$$，$$AD = 3$$。
直线 $$PM$$ 与平面 $$ABCD$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{4}$$，即 $$\angle PMA = 45^\circ$$，因此 $$AM = PA = 2$$。
点 $$M$$ 的轨迹是以 $$A$$ 为圆心、半径为 $$2$$ 的圆与矩形的交集，长度为 $$\frac{\pi}{2}$$。
因此 $$\tan \alpha = 1$$，对应选项 B。
7. 题目解析：
平面 $$ABCD \perp$$ 平面 $$ADEF$$，且 $$ADEF$$ 是正方形。
点 $$M$$ 满足 $$MB$$ 和 $$MC$$ 与平面 $$ADEF$$ 的夹角相等，即 $$M$$ 在平面 $$ADEF$$ 上的投影到 $$B$$ 和 $$C$$ 的距离相等。
因此，$$M$$ 的轨迹是平面 $$ADEF$$ 内的一条直线，长度为 $$4$$，对应选项 A。
8. 题目解析：
半圆 $$O$$ 与等边三角形 $$ABC$$ 夹在两平行线 $$\ell_1$$ 和 $$\ell_2$$ 之间。
弧 $$FG$$ 的长为 $$x$$，$$y = EB + BC + CD$$。
当 $$\ell$$ 从 $$\ell_1$$ 移动到 $$\ell_2$$，$$y$$ 先线性增加，然后保持不变，最后线性减少。
对应图像为选项 D。
9. 题目解析：
三棱台 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 中，$$AA_1 \parallel BD$$，且平面 $$BDM \parallel$$ 平面 $$A_1C_1CA$$。
点 $$M$$ 的轨迹是平面 $$BDM$$ 与平面 $$A_1B_1C_1$$ 的交线，是一条线段，但只含一个端点，对应选项 C。
10. 题目解析：
平面 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 垂直，且 $$AD \perp \alpha$$，$$BC \perp \alpha$$，$$AD = 4$$，$$BC = 8$$，$$AB = 6$$。
$$\angle APD = \angle CPB$$，说明点 $$P$$ 满足一定的角度关系。
通过几何分析，$$P$$ 的轨迹是圆的一部分，对应选项 A。