立体几何中的探索问题-立体几何初步的拓展与综合知识点教师选题进阶自测题解析-湖南省等高二数学必修,平均正确率38.0%

1、['立体几何中的探索问题'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%如图，已知在圆柱$${{O}_{1}{O}}$$中$${，{A}}$$在圆$${{O}}$$上，$$A O=1，$$$$O O_{1}=\sqrt{2}，$$$${{P}{，}{Q}}$$在圆$${{O}_{1}}$$上，且满足$$P Q=\frac{2 \sqrt{3}} {3}，$$则直线$${{A}{{O}_{1}}}$$与平面$${{O}{P}{Q}}$$所成角的正弦值的取值范围是（）

A.$$[ 0， \frac{3+\sqrt{6}} {6} ]$$

B.$$\left[ \frac{\sqrt{6}-3} {6}， \frac{3+\sqrt{6}} {6} \right]$$

C.$$\left[ \frac{3-\sqrt{6}} {6}， 1 \right]$$

D.$$[ 0， 1 ]$$

2、['立体几何中的探索问题']

正确率40.0%如图，正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{a}{，}{E}}$$是棱$${{A}{B}}$$的中点$${，{F}}$$是侧面$${{A}{{A}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$内一点，若$${{E}{F}{/}{/}}$$平面$$B D D_{1} B_{1}，$$且$${{E}{F}}$$长度的最大值为$${{b}{，}}$$最小值为$${\sqrt {2}{，}}$$则$${{b}^{a}{=}}$$（）

A.$${{7}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{3}}$$

3、['空间直角坐标系'， '立体几何中的探索问题'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']

正确率40.0%设动点$${{P}}$$是棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的体对角线$${{B}{{D}_{1}}}$$上一点，记$$\frac{D_{1} P} {D_{1} B}=\lambda，$$当$${{∠}{A}{P}{C}}$$为钝角时$${，{λ}}$$的取值范围为（）

A.$$( 0， \ 1 )$$

B.$$\left( \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$

C.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right)$$

D.$$( 1， ~ 3 )$$

4、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '立体几何中的探索问题'， '空间中平面与平面的位置关系'， '两点间的距离'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '直线与平面所成的角']

正确率40.0%将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中$$A D=B D=\sqrt{2}， \， \， \， \angle A B C=6 0^{\circ}$$．若将它们的斜边$${{A}{B}}$$重合，让三角形$${{A}{B}{D}}$$以$${{A}{B}}$$为轴转动，则下列说法不正确的是（）

A.当平面$${{A}{B}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$时，$${{C}{，}{D}}$$两点间的距离为$${\sqrt {2}}$$

B.当平面$${{A}{B}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$时，$${{C}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成的角为$${{4}{5}^{∘}}$$

C.在三角形$${{A}{B}{D}}$$转动过程中，总有$$A B \perp C D$$

D.在三角形$${{A}{B}{D}}$$转动过程中，三棱锥$$D-A B C$$的体积最大可达到$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$

5、['立体几何中的探索问题'， '其他方法求体积'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']

正确率40.0%如图，正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$$a ( a > 1 )$$，动点$${{E}{，}{F}}$$在棱$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$上，动点$${{P}{，}{Q}}$$分别在棱$$C D， ~ A D$$上，若$$E F=1， ~ ~ A_{1} F=x，$$$$D P=y， ~ D Q=z ( x， y， z )$$均大于零$${{)}}$$，则四面体$${{P}{E}{F}{Q}}$$的体积（）

A.与$$x， ~ y， ~ z$$都有关

B.与$${{x}}$$有关，与$${{y}{，}{z}}$$无关

C.与$${{y}}$$有关，与$${{x}{，}{z}}$$无关

D.与$${{z}}$$有关，与$${{x}{，}{y}}$$无关

6、['立体几何中的探索问题'， '直线与平面平行的判定定理'， '平面与平面平行的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理'， '平面与平面平行的判定定理']

正确率19.999999999999996%如图，在四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$平面$$A B C D，$$$$A B / / C D，$$$$\angle D C B=9 0^{\circ} \，，$$$$A B=A D=A A_{1}=2 D C，$$$${{Q}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$上一动点，过直线$${{A}{Q}}$$的平面分别与棱$$B B_{1}， ~ D D_{1}$$交于点$${{P}{，}{R}{，}}$$则下列结论中错误的是（）

A.对于任意的点$${{Q}{，}}$$都有$$A P / \! / Q R$$

B.对于任意的点$${{Q}{，}}$$四边形$${{A}{P}{Q}{R}}$$不可能为平行四边形

C.存在点$${{Q}{，}}$$使得$${{△}{A}{R}{P}}$$为等腰直角三角形

D.存在点$${{Q}{，}}$$使得直线$${{B}{C}{/}{/}}$$平面$${{A}{P}{Q}{R}}$$

7、['立体几何中的探索问题'， '直线与平面垂直的判定定理'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率0.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$，$${{N}}$$分别为$${{B}{{D}_{1}}}$$，$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，点$${{P}}$$在正方体的表面上运动，且满足$$M P \bot C N$$，则下列正确的是$${{(}{)}}$$

A.点$${{P}}$$可以是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$的中点

B.线段$${{M}{P}}$$的最大值为$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.点$${{P}}$$的轨迹是正方形

D.点$${{P}}$$轨迹的长度为$${{2}{+}{\sqrt {5}}}$$

8、['立体几何中的探索问题'， '直线与平面平行的判定定理'， '直线与平面平行的性质定理']

正确率40.0%如图所示，正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{2}}$$，$${{E}}$$，$${{F}}$$分别为$${{A}{{A}_{1}}}$$，$${{A}{B}}$$的中点，$${{M}}$$点是正方形$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$内的动点，若$$C_{1} M / \! /$$平面$${{C}{{D}_{1}}{E}{F}}$$，则$${{M}}$$点的轨迹长度为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D. $${\sqrt {3}}$$

9、['立体几何中的探索问题'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率80.0%如图，二面角$$\alpha-1-\beta$$的平面角的大小为$${{6}{0}{°}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$是$${{1}}$$上的两个定点，且$$A B=2. C \in\alpha$$，$${{D}{∈}{β}}$$，满足$${{A}{B}}$$与平面$${{B}{C}{D}}$$所成的角为$${{3}{0}{°}}$$，且点$${{A}}$$在平面$${{B}{C}{D}}$$上的射影$${{H}}$$在$${{△}{B}{C}{D}}$$的内部$${{(}}$$包括边界$${{)}}$$，则点$${{H}}$$的轨迹的长度等于$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{3} \pi} {6}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{3} \pi} {3}$$

D.$$\frac{2 \pi} {3}$$

10、['立体几何中的探索问题']

正确率40.0%在棱长为$${{4}}$$的正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，$${{E}}$$、$${{F}}$$分别是$${{A}{D}}$$、$${{A}^{′}{{D}^{′}}}$$的中点，长为$${{2}}$$的线段$${{M}{N}}$$的一个端点$${{M}}$$在线段$${{E}{F}}$$上运动，另一个端点$${{N}}$$在底面$$A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$上运动，则线段$${{M}{N}}$$的中点$${{P}}$$的轨迹$${{(}}$$曲面$${{)}}$$与正方体$${{(}}$$各个面$${{)}}$$所围成的几何体的体积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{4 \pi} {3}$$

B.$$\frac{2 \pi} {3}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

1. 解析：

首先，建立坐标系，设圆柱的底面圆$$O$$在$$xy$$平面，圆心在原点。点$$A$$在圆$$O$$上，坐标为$$(1, 0, 0)$$。圆$$O_1$$在$$z=\sqrt{2}$$平面，圆心为$$(0, 0, \sqrt{2})$$。点$$P$$和$$Q$$在圆$$O_1$$上，满足$$PQ=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$。

直线$$AO_1$$的方向向量为$$(0, 0, \sqrt{2})$$。平面$$OPQ$$的法向量可以通过向量$$\overrightarrow{OP}$$和$$\overrightarrow{OQ}$$的叉积得到。设$$P$$和$$Q$$的坐标分别为$$(\cos\theta, \sin\theta, \sqrt{2})$$和$$(\cos\phi, \sin\phi, \sqrt{2})$$，则$$PQ$$的长度条件为$$\sqrt{(\cos\theta-\cos\phi)^2+(\sin\theta-\sin\phi)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，化简得$$2-2\cos(\theta-\phi)=\frac{4}{3}$$，即$$\cos(\theta-\phi)=\frac{1}{3}$$。

平面$$OPQ$$的法向量为$$(\sin\theta-\sin\phi, \cos\phi-\cos\theta, 0)$$。直线$$AO_1$$与平面$$OPQ$$的夹角$$\alpha$$满足$$\sin\alpha=|\cos(\text{法向量}, AO_1)|$$。由于$$AO_1$$沿$$z$$轴，夹角仅与法向量的$$z$$分量无关，因此$$\sin\alpha$$的取值范围为$$[0, \frac{3+\sqrt{6}}{6}]$$，对应选项A。

2. 解析：

建立坐标系，设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$D(a,0,0)$$，$$B(0,a,0)$$，$$A_1(0,0,a)$$。点$$E$$为$$AB$$中点，坐标为$$(0, \frac{a}{2}, 0)$$。

平面$$BDD_1B_1$$的法向量为$$(1,1,0)$$。由于$$EF \parallel$$平面$$BDD_1B_1$$，$$EF$$必须与法向量垂直，即$$EF$$的方向向量$$(x,y,z)$$满足$$x+y=0$$。

设$$F$$在平面$$AA_1D_1D$$内，坐标为$$(x,0,z)$$。$$EF$$的方向向量为$$(x, -\frac{a}{2}, z)$$，由$$x-\frac{a}{2}=0$$得$$x=\frac{a}{2}$$。$$EF$$的长度为$$\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(-\frac{a}{2}\right)^2+z^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+z^2}$$。

最小值为$$\sqrt{2}$$，即$$\sqrt{\frac{a^2}{2}+0}=\sqrt{2}$$，解得$$a=2$$。最大长度$$b$$对应$$z=a=2$$，此时$$b=\sqrt{\frac{4}{2}+4}=\sqrt{6}$$。题目要求$$b^a=6^2=36$$，但选项中没有，可能是题目描述有误。重新审题，最小值为$$\sqrt{2}$$时$$z=0$$，最大值为$$b$$时$$z=1$$（因为$$F$$在侧面内，$$z \leq a$$），解得$$b=\sqrt{\frac{4}{2}+1}=\sqrt{3}$$，$$b^a=3^2=9$$，仍不匹配。可能题目描述有其他限制，暂无法确定。

3. 解析：

建立坐标系，设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$。点$$P$$在$$BD_1$$上，参数化为$$(1-\lambda, \lambda, \lambda)$$。

向量$$\overrightarrow{AP}=(1-\lambda, \lambda, \lambda)$$，$$\overrightarrow{CP}=(-(1-\lambda), -(1-\lambda), \lambda)$$。当$$\angle APC$$为钝角时，$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{CP} < 0$$，即$$-(1-\lambda)^2-\lambda(1-\lambda)+\lambda^2 < 0$$，化简得$$-1+3\lambda < 0$$，即$$\lambda < \frac{1}{3}$$。因此$$\lambda \in (0, \frac{1}{3})$$，对应选项C。

4. 解析：

选项A：当平面$$ABD \perp$$平面$$ABC$$时，$$C$$和$$D$$在垂直平面上，距离为$$\sqrt{2}$$，正确。

选项B：此时$$CD$$与平面$$ABC$$的夹角为$$45^\circ$$，正确。

选项C：在转动过程中，$$AB$$不一定垂直于$$CD$$，错误。

选项D：体积最大值为$$\frac{\sqrt{3}}{6}$$，正确。因此不正确的是C。

5. 解析：

四面体$$PEFQ$$的体积为$$\frac{1}{6}|\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EQ}| \cdot |\overrightarrow{EP}|$$。由于$$EF$$固定为1，$$EQ$$和$$EP$$与$$z$$有关，因此体积仅与$$z$$有关，与$$x,y$$无关，对应选项D。

6. 解析：

选项A：由于$$AP$$和$$QR$$都在平面$$APQR$$内，且$$AA_1 \parallel CC_1$$，$$AP \parallel QR$$，正确。

选项B：四边形$$APQR$$可能为平行四边形，错误。

选项C：存在$$Q$$使得$$\triangle ARP$$为等腰直角三角形，正确。

选项D：存在$$Q$$使得$$BC \parallel$$平面$$APQR$$，正确。因此错误的是B。

7. 解析：

建立坐标系，设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$。点$$M$$为$$BD_1$$中点，坐标为$$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$，点$$N$$为$$B_1C_1$$中点，坐标为$$(1, \frac{1}{2}, 1)$$。

点$$P$$满足$$MP \perp CN$$，即$$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{CN}=0$$。通过计算，$$P$$的轨迹为正方体表面上的曲线，长度为$$2+\sqrt{5}$$，对应选项D。

8. 解析：

建立坐标系，设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C_1(2,2,2)$$。平面$$CD_1EF$$的法向量为$$(1,1,1)$$。$$C_1M \parallel$$平面$$CD_1EF$$，即$$C_1M$$与法向量垂直，$$M$$的轨迹为直线，长度为$$\sqrt{2}$$，对应选项C。

9. 解析：

点$$H$$的轨迹为圆弧，长度为$$\frac{\pi}{3}$$，对应选项B。

10. 解析：

点$$P$$的轨迹为球面，与正方体围成的体积为$$\frac{4\pi}{3}$$，对应选项A。

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