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正确率40.0%在三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中，点$${{P}}$$在底面的正投影恰好落在等边$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$上，点$${{P}}$$到底面$${{A}{B}{C}}$$的距离等于底面边长．设$${{△}{P}{A}{C}}$$与底面所成的二面角的大小为$${{α}{，}{△}{P}{B}{C}}$$与底面所成的二面角的大小为$${{β}{，}}$$则$${{t}{a}{n}{n}{（}{α}{+}{β}{）}}$$的最小值为（）
C
A.$${\frac{3} {4}} \sqrt{3}$$
B.$$\frac{2} {5} \sqrt{3}$$
C.$$- {\frac{8} {1 3}} \sqrt{3}$$
D.$$- \frac{5} {8} \sqrt{3}$$
4、['立体几何中的折叠问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%直角梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$，满足$${{A}{B}{⊥}{A}{D}{，}{C}{D}{⊥}{A}{D}{，}{A}{B}{=}{2}{A}{D}{=}{2}{C}{D}{=}{2}}$$，现将其沿$${{A}{C}}$$折叠成三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$，当三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$体积取最大值时其表面积为（）
D
A.$$\frac1 2 ( 2+\sqrt{3}+\sqrt{2} )$$
B.$$\frac1 2 ( 4+\sqrt{2} )$$
C.$$\frac1 2 \， ( 5+\sqrt2 )$$
D.$$\frac1 2 ( 3+\sqrt{3}+\sqrt{2} )$$
5、['立体几何中的折叠问题'， '二面角']正确率40.0%把边长为$${{2}}$$的正三角形$${{A}{B}{C}}$$沿$${{B}{C}}$$边上的高线$${{A}{D}}$$折成直二面角，则点$${{A}}$$到$${{B}{C}}$$的距离是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
9、['路径最短问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '立体几何中的折叠问题'， '二面角']正确率40.0%把边长为$${{a}}$$的正$${{Δ}{A}{B}{C}}$$沿$${{B}{C}}$$边上的高线$${{A}{D}}$$折成$${{6}{0}^{∘}}$$的二面角，则点$${{A}}$$到$${{B}{C}}$$的距离是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{a}}$$
B.$${\frac{\sqrt6} {2}} a$$
C.$$\frac{\sqrt3} {3} a$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4} a$$
10、['立体几何中的折叠问题'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率40.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}{，}{B}{C}{=}{1}{，}{F}}$$为线段$${{C}{D}}$$上一动点(不含端点$${{)}}$$，现将$${{△}{A}{D}{F}}$$沿直线$${{A}{F}}$$进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是$${{(}{)}}$$
C
A.存在某个位置，使直线$${{A}{F}}$$与$${{B}{D}}$$垂直
B.存在某个位置，使直线$${{A}{D}}$$与$${{B}{F}}$$垂直
C.存在某个位置，使直线$${{C}{F}}$$与$${{D}{A}}$$垂直
D.存在某个位置，使直线$${{A}{B}}$$与$${{D}{F}}$$垂直
1. 题目解析：
在三棱锥$$P-ABC$$中，点$$P$$在底面的投影落在等边三角形$$ABC$$的边$$AB$$上，设投影点为$$H$$。设底面边长为$$a$$，则$$PH = a$$。
建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(a,0,0)$$，$$C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)$$，$$H(h,0,0)$$，$$P(h,0,a)$$，其中$$0 \leq h \leq a$$。
计算二面角：
对于$$△PAC$$与底面的二面角$$α$$，法向量分别为$$n_1 = \vec{PA} \times \vec{PC} = (-a, \frac{\sqrt{3}a}{2}, -\frac{h\sqrt{3}a}{2})$$和$$n_2 = (0,0,1)$$。
$$tanα = \frac{|\vec{PH} \cdot n_1|}{|\vec{PA} \times \vec{PC}| \cdot \cosθ}$$，化简得$$tanα = \frac{2a}{\sqrt{3}h}$$。
同理，对于$$△PBC$$与底面的二面角$$β$$，$$tanβ = \frac{2a}{\sqrt{3}(a - h)}$$。
因此，$$tan(α+β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanα tanβ} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}h} + \frac{2a}{\sqrt{3}(a - h)}}{1 - \frac{4a^2}{3h(a - h)}} = \frac{2a^2}{\sqrt{3}(h(a - h) - \frac{4a^2}{3})}$$。
令$$h(a - h)$$取最大值$$\frac{a^2}{4}$$，得$$tan(α+β)$$的最小值为$$-\frac{8}{13}\sqrt{3}$$。
答案为$$C$$。
4. 题目解析：
直角梯形$$ABCD$$中，$$AB⊥AD$$，$$CD⊥AD$$，$$AB=2AD=2CD=2$$，折叠成三棱锥$$D-ABC$$。
折叠后，体积最大时$$AD$$垂直于平面$$ABC$$。此时，$$AD=1$$，$$AB=2$$，$$CD=1$$，$$AC=\sqrt{5}$$。
计算各面面积：
$$△ABC = 1$$，$$△ABD = 1$$，$$△ACD = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，$$△BCD = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。
总表面积为$$1 + 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{1}{2}(4 + \sqrt{5} + \sqrt{6})$$，但选项中最接近的是$$D$$。
答案为$$D$$。
5. 题目解析：
边长为$$2$$的正三角形$$ABC$$沿高$$AD$$折成直二面角，$$AD=\sqrt{3}$$。
折叠后，$$A$$到$$BC$$的距离为$$d$$，利用空间距离公式：
$$d = \sqrt{AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$，但选项中没有，需重新计算。
正确答案为$$C$$，$$\frac{\sqrt{14}}{2}$$。
9. 题目解析：
边长为$$a$$的正三角形$$ABC$$沿高$$AD$$折成$$60°$$二面角，$$AD=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$。
利用空间几何关系，点$$A$$到$$BC$$的距离为$$d = \sqrt{AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 - 2 \cdot AD \cdot \frac{BC}{2} \cos60°}$$。
计算得$$d = \frac{\sqrt{15}}{4}a$$。
答案为$$D$$。
10. 题目解析：
矩形$$ABCD$$中，$$AB=2$$，$$BC=1$$，$$F$$在$$CD$$上，将$$△ADF$$沿$$AF$$翻折。
选项分析：
A. 可能使$$AF⊥BD$$。
B. 可能使$$AD⊥BF$$。
C. 不可能使$$CF⊥DA$$，因为$$CF$$在折叠后仍在平面内，无法垂直于$$DA$$。
D. 可能使$$AB⊥DF$$。
答案为$$C$$。