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正确率60.0%侧棱长为$${{2}{\sqrt {3}}{a}}$$的正三棱锥$$V-A B C$$的侧棱间的夹角为$${{4}{0}{^{∘}}}$$，过顶点$${{A}}$$作截面$${{A}{E}{F}}$$，截面$${{A}{E}{F}}$$的最小周长为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}{a}}$$
B.$${{6}{a}}$$
C.$${{4}{a}}$$
D.$${{1}{2}{\sqrt {3}}{a}}$$
2、['立体几何中的截面、交线问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率19.999999999999996%已知正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{1}{，}}$$过点$${{B}}$$作截面$${{α}}$$分别交棱$$A C， ~ A D$$于$${{E}{，}{F}}$$两点，且四面体$${{A}{B}{E}{F}}$$的体积为四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$体积的$$\frac{1} {3}，$$则$${{E}{F}}$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
3、['立体几何中的截面、交线问题'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%svg异常
A
A.$${{8}{π}}$$
B.$${{6}{π}}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$${{2}{π}}$$
4、['立体几何中的截面、交线问题']正确率60.0%svg异常
C
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
5、['立体几何中的截面、交线问题'， '利用基本不等式求最值'， '直线与平面平行的性质定理']正确率19.999999999999996%已知正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{2}}$$，平面$${{α}}$$与棱$${{A}{B}}$$、$${{C}{D}}$$均平行，则$${{α}}$$截此正四面体所得截面面积的最大值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['立体几何中的截面、交线问题'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率19.999999999999996%svg异常
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\sqrt6-\sqrt2$$
C.$$\sqrt6+\sqrt2$$
D.$${{2}}$$
7、['立体几何中的截面、交线问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%在棱长为$${{3}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{E}{、}{F}}$$分别在棱$$A B， ~ A C$$上，且$$A E=2 E B， \， \， \， A F=2 F C$$，过$${{E}{F}}$$作与$$A D， \ B C$$都平行的平面分别交棱$$D C， ~ D B$$于点$${{G}{、}{H}}$$，则截面$${{E}{F}{G}{H}}$$将正面体$${{A}{B}{C}{D}}$$分成大小两部分的体积比为
C
A.$${{3}{︰}{1}}$$
B.$${{4}{︰}{1}}$$
C.$${{2}{0}{︰}{7}}$$
D.$${{2}{1}{︰}{8}}$$
8、['立体几何中的截面、交线问题'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
B.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{8}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
9、['立体几何中的截面、交线问题'， '数学探究活动（一）：正方体截面探究']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
10、['立体几何中的截面、交线问题'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$， ~ E， ~ F， ~ G$$分别为$$A A_{1}， ~ B C， ~ C_{1} D_{1}$$的中点.现有下面三个结论：①$${{△}{E}{F}{G}}$$为正三角形；②异面直线$${{A}_{1}{G}}$$与$${{C}_{1}{F}}$$所成的角为$${{6}{0}^{∘}}$$；③$${{A}{C}{/}{/}}$$平面$${{E}{F}{G}}$$.其中所有正确结论的编号是（）
D
A.①
B.②③
C.①②
D.①③
1. 题目解析：
侧棱长为$$2\sqrt{3}a$$的正三棱锥$$V-ABC$$，侧棱间夹角为$$40^\circ$$。过顶点$$A$$作截面$$AEF$$，求最小周长。
解：将三棱锥展开成平面图形，最小周长即为展开图中$$A$$到$$A$$的直线距离。展开后角度为$$3 \times 40^\circ = 120^\circ$$，由余弦定理：
$$AA' = \sqrt{(2\sqrt{3}a)^2 + (2\sqrt{3}a)^2 - 2 \times 2\sqrt{3}a \times 2\sqrt{3}a \times \cos 120^\circ} = 6a$$
答案：
B.$$6a$$
2. 题目解析：
正四面体$$ABCD$$棱长为1，过$$B$$作截面交$$AC,AD$$于$$E,F$$，且四面体$$ABEF$$体积为$$\frac{1}{3}$$原体积，求$$EF$$最小值。
解：原体积$$V_0 = \frac{\sqrt{2}}{12}$$，$$V_{ABEF} = \frac{1}{3}V_0 = \frac{\sqrt{2}}{36}$$。设$$AE = x$$，$$AF = y$$，则：
$$\frac{1}{6}xy \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{36} \Rightarrow xy = \frac{1}{2}$$
由余弦定理：
$$EF = \sqrt{x^2 + y^2 - xy} \geq \sqrt{2xy - xy} = \sqrt{xy} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
答案：
A.$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
5. 题目解析：
正四面体$$ABCD$$棱长为2，平面$$\alpha$$与$$AB,CD$$平行，求截面面积最大值。
解：平行于$$AB,CD$$的平面截得平行四边形，当截面为中位面时面积最大：
$$S = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$$
答案：
C.$$\sqrt{3}$$
7. 题目解析：
棱长为3的正四面体$$ABCD$$中，$$AE=2EB$$，$$AF=2FC$$，作平面$$EFGH$$平行于$$AD,BC$$，求体积比。
解：计算可得$$EF = \frac{2}{3}$$，$$GH = \frac{1}{3}$$，截面为梯形。体积比为：
$$\frac{V_{大}}{V_{小}} = \frac{20}{7}$$
答案：
C.$$20:7$$
10. 题目解析：
正方体中$$E,F,G$$分别为中点，判断结论：
① 计算边长$$EF=FG=GE$$，为正三角形；
② 计算夹角为$$60^\circ$$；
③ $$AC$$与平面$$EFG$$不平行。
答案：
C.①②