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正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{1}{，}}$$动点$${{M}}$$在棱$${{C}{{C}_{1}}}$$上，动点$${{P}}$$在平面$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$上，且$${{A}{P}{⊥}}$$平面$${{M}{B}{{D}_{1}}{，}}$$则$${{A}{P}}$$的长度的取值范围为（）
D
A.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{\sqrt {3}}{]}}$$
C.$$\left[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \sqrt{2} \right]$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt6} {2}， ~ \sqrt2 \right]$$
5、['与球有关的切、接问题'， '立体几何中的动态问题'， '点到平面的距离']正确率40.0%已知三棱锥$${{S}{−}{A}{B}{C}}$$满足$${{S}{A}{⊥}{S}{B}{，}{S}{B}{⊥}{S}{C}{，}{S}{A}{⊥}{S}{C}}$$，且$${{S}{A}{=}{S}{B}{=}{S}{C}}$$，若该三棱锥外接球的半径为$$\frac{\sqrt{3}} {2}， Q$$是外接球上一动点，则点$${{Q}}$$到平面$${{A}{B}{C}}$$的距离的最大值为 （）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
9、['立体几何中的动态问题'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}}$$为棱$${{C}{D}}$$的中点，点$${{P}}$$是侧面$${{A}{{A}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$上一动点，且$${{C}{P}{⊥}{{B}_{1}}{E}}$$，则线段$${{C}{P}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ \frac{4 \sqrt{3}} {3}， \sqrt{5} ]$$
B.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \sqrt{5} ]$$
C.$$[ \frac{4 \sqrt{3}} {3}， \sqrt{6} ]$$
D.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \sqrt{6} ]$$
10、['立体几何中的探索问题'， '立体几何中的动态问题']正确率19.999999999999996%如图所示，在棱长为$${{4}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{M}}$$是正方体表面上一动点，则下列说法正确的个数为（）
$$None$$
$${①}$$若点$${{M}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内运动时总满足$${{∠}{D}{{D}_{1}}{A}{=}{∠}{D}{{D}_{1}}{M}}$$，则点$${{M}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内的轨迹是圆的一部分；
$${②}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内作边长为$${{1}}$$的小正方形$${{E}{F}{G}{A}}$$，点$${{M}}$$满足在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内运动，且到平面$${{A}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{B}}$$的距离等于到点$${{F}}$$的距离，则$${{M}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内的轨迹是抛物线的一部分；
$${③}$$已知点$${{N}}$$是棱$${{C}{D}}$$的中点，若点$${{M}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}{A}{B}{C}{D}}$$内运动，且$${{B}_{1}{M}{∥}}$$平面$${{A}_{1}{N}{{C}_{1}}}$$，则点$${{M}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内的轨迹是线段；
$${④}$$已知点$${{P}{，}{Q}}$$分别是$${{B}{{D}_{1}}{，}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的点，点$${{M}}$$为正方体表面上一点，若$${{M}{P}}$$与$${{C}{Q}}$$垂直，则点$${{M}}$$所构成轨迹的周长为$${{8}{+}{4}{\sqrt {5}}}$$.
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题的详细解析：
3. 解析：
设正方体的坐标系为 $$A(0,0,0)$$，$$D(1,0,0)$$，$$B(0,1,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$D_1(1,0,1)$$，$$B_1(0,1,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$。动点 $$M$$ 在 $$CC_1$$ 上，设 $$M(1,1,t)$$，$$t \in [0,1]$$。动点 $$P$$ 在平面 $$A_1B_1C_1D_1$$ 上，设 $$P(x,y,1)$$。
由题意，$$AP \perp$$ 平面 $$MBD_1$$，即 $$AP$$ 与平面 $$MBD_1$$ 的法向量平行。平面 $$MBD_1$$ 的法向量为 $$\vec{n} = \vec{MB} \times \vec{MD_1} = (-1, 0, t) \times (0, -1, t) = (t, t, 1)$$。
因为 $$AP = (x, y, 1)$$ 与 $$\vec{n}$$ 平行，所以 $$\frac{x}{t} = \frac{y}{t} = \frac{1}{1}$$，即 $$x = y = t$$。因此，$$P(t, t, 1)$$，$$AP = \sqrt{t^2 + t^2 + 1} = \sqrt{2t^2 + 1}$$。
当 $$t \in [0,1]$$ 时，$$AP \in [1, \sqrt{3}]$$。故选 B。
5. 解析：
由题意，三棱锥 $$S-ABC$$ 满足 $$SA \perp SB$$，$$SB \perp SC$$，$$SA \perp SC$$，且 $$SA = SB = SC = a$$。设 $$SA, SB, SC$$ 分别为坐标轴，则 $$A(a,0,0)$$，$$B(0,a,0)$$，$$C(0,0,a)$$。
外接球的半径为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，而外接球的球心在几何中心，即 $$\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$$，半径 $$R = \frac{\sqrt{3a^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$a = 1$$。
平面 $$ABC$$ 的方程为 $$x + y + z = 1$$，球心到平面的距离为 $$d = \frac{\left|\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1\right|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$$。
点 $$Q$$ 到平面 $$ABC$$ 的最大距离为 $$R + d = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。故选 A。
9. 解析：
设正方体的坐标系为 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。点 $$E$$ 为 $$CD$$ 的中点，坐标为 $$E(1,2,0)$$。
点 $$P$$ 在侧面 $$AA_1D_1D$$ 上，设 $$P(0, y, z)$$，$$y \in [0,2]$$，$$z \in [0,2]$$。向量 $$\vec{CP} = (-2, y-2, z)$$，向量 $$\vec{B_1E} = (-1, 2, -2)$$。
由 $$\vec{CP} \perp \vec{B_1E}$$，得 $$(-2)(-1) + (y-2)(2) + z(-2) = 0$$，即 $$2 + 2y - 4 - 2z = 0$$，化简得 $$y - z = 1$$。
因此，$$P(0, y, y-1)$$，$$y \in [1,2]$$。$$CP = \sqrt{(-2)^2 + (y-2)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{4 + (y-2)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2y^2 - 6y + 9}$$。
当 $$y = 1.5$$ 时，$$CP$$ 最小为 $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$；当 $$y = 1$$ 或 $$y = 2$$ 时，$$CP$$ 最大为 $$\sqrt{5}$$。故选 A。
10. 解析：
① 点 $$M$$ 在平面 $$ABCD$$ 内运动，满足 $$\angle DD_1A = \angle DD_1M$$，即 $$M$$ 在以 $$DD_1$$ 为轴的圆锥面上，轨迹为圆的一部分。正确。
② 点 $$M$$ 到平面 $$AA_1B_1B$$ 的距离等于到点 $$F$$ 的距离，符合抛物线的定义。正确。
③ 点 $$M$$ 满足 $$B_1M \parallel$$ 平面 $$A_1NC_1$$，即 $$M$$ 在平行于 $$A_1NC_1$$ 的平面上，轨迹为线段。正确。
④ 点 $$M$$ 满足 $$MP \perp CQ$$，通过向量分析可得 $$M$$ 的轨迹周长为 $$8 + 4\sqrt{5}$$。正确。
综上，所有说法均正确。故选 D。