立体几何中的动态问题-立体几何初步的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题解析-甘肃省等高二数学必修,平均正确率40.0%

1、['余弦定理及其应用'， '路径最短问题'， '棱柱的结构特征及其性质'， '空间两直线的共面、异面问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题']

正确率19.999999999999996%已知四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的所有棱长均为$${\sqrt {2}}$$，$${{M}}$$，$${{N}}$$分别为棱$${{A}{D}}$$，$${{B}{C}}$$的中点，$${{F}}$$为棱$${{A}{B}}$$上异于$${{A}}$$，$${{B}}$$的动点．有下列结论：
①线段$${{M}{N}}$$的长度为$${{1}}$$；
②若点$${{G}}$$为线段$${{M}{N}}$$上的动点，则无论点$${{F}}$$与$${{G}}$$如何运动，直线$${{F}{G}}$$与直线$${{C}{D}}$$都是异面直线；
③$${{∠}{M}{F}{N}}$$的余弦值的取值范围为$$[ 0， \frac{\sqrt{5}} {5} )$$；
④$${{△}{F}{M}{N}}$$周长的最小值为$$\sqrt{2}+1$$．
其中正确结论的为（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

2、['立体几何中的动态问题'， '直线与平面平行的判定定理']

正确率40.0%长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=B C=2$$，$${{B}{{B}_{1}}{=}{1}}$$，$${{M}}$$为$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$的中点，$${{P}}$$为下底面$${{A}{B}{C}{D}}$$上一点，若直线$${{P}{{D}_{1}}{/}{/}}$$平面$${{B}{M}{{C}_{1}}}$$，则$${{△}{{D}_{1}}{D}{P}}$$的面积的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$${{1}}$$

3、['立体几何中的动态问题'， '直线与平面垂直的定义'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面平行的判定定理']

正确率40.0%已知正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$\cdot\ \ A B=1， \ \ A A_{1}=2，$$点$${{P}{，}{Q}}$$分别是棱$$B B_{1}， ~ A B$$上的动点，则下列结论错误的是（）

A.任意给定的点$${{P}{(}{P}}$$不在$${{B}}$$点)，存在点$${{Q}{，}}$$使得$${{P}{Q}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{{C}_{1}}{D}}$$

B.任意给定的点$${{Q}{(}{Q}}$$不在$${{B}}$$点)，存在点$${{P}{，}}$$使得$${{P}{Q}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{{C}_{1}}{D}}$$

C.任意给定的点$${{P}{，}}$$存在点$${{Q}{，}}$$使得$$C P \perp D_{1} Q$$

D.任意给定的点$${{Q}{，}}$$存在点$${{P}{，}}$$使得$$C P \perp D_{1} Q$$

4、['二面角'， '立体几何中的动态问题']

正确率60.0%已知正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{P}}$$在线段$${{C}{D}}$$上，且$$C P=2 P D，$$二面角$$A-B C-D， \， \， \， P-A B-D， \， \， \， C-A P-B$$的平面角分别记为$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma，$$则（）

A.$$\beta< \alpha< \gamma$$

B.$$\beta< \gamma< \alpha$$

C.$$\alpha< \beta< \gamma$$

D.$$\alpha< \gamma< \beta$$

5、['空间中直线与平面的位置关系'， '点到平面的距离'， '二面角'， '立体几何中的动态问题']

正确率40.0%svg异常

A.对任意动点$${{F}{，}}$$在平面$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$内不存在与平面$${{C}{B}{F}}$$平行的直线

B.对任意动点$${{F}{，}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内存在与平面$${{C}{B}{F}}$$垂直的直线

C.在点$${{F}}$$从$${{A}_{1}}$$运动到$${{D}_{1}}$$的过程中，二面角$$F-B C-A$$的大小不变

D.在点$${{F}}$$从$${{A}_{1}}$$运动到$${{D}_{1}}$$的过程中，点$${{D}}$$到平面$${{C}{B}{F}}$$的距离逐渐变大

6、['棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题']

正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$$\sqrt{2}， \ P$$为$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点$${，{E}{，}{F}}$$分别为$$A_{1} D， \ B C_{1}$$(含端点)上的动点，则$$P E+P F$$的最小值为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

7、['空间中直线与直线的位置关系'， '异面直线垂直'， '立体几何中的动态问题']

正确率40.0%svg异常

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

8、['立体几何中的动态问题']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的线段$${{B}{{D}_{1}}}$$上，则$$\operatorname{c o s} \angle A P C$$最小值为（）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$- \frac{1} {9}$$

9、['棱柱的结构特征及其性质'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间直角坐标系中中点坐标公式'， '立体几何中的动态问题'， '空间向量的数量积']

正确率40.0%已知长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是边长为$${{2}}$$的正方形，点$${{E}}$$为棱$${{A}{D}}$$上任意一点，$${{F}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$中点，棱$${{C}_{1}{{D}_{1}}}$$上至少存在一点$${{P}}$$，使得$$\overrightarrow{P E} \cdot\overrightarrow{P F}=0，$$则长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的侧棱$${{A}{{A}_{1}}}$$的最大值为（）

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}}$$

10、['路径最短问题'， '立体几何中的动态问题'， '直线与平面垂直的性质定理']

正确率40.0%svg异常

A.$$\frac{\sqrt2+\sqrt6} {4}$$

B.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

1. 题目解析：

对于四面体$$ABCD$$，所有棱长均为$$\sqrt{2}$$，这是一个正四面体。

① 计算$$MN$$的长度：
取$$AD$$中点$$M$$和$$BC$$中点$$N$$。在正四面体中，$$MN$$是两条对边中点的连线，其长度为$$1$$（正四面体的性质）。结论①正确。
② 判断异面直线：
当$$G$$与$$N$$重合时，$$FG$$与$$CD$$可能共面（例如$$F$$为$$AB$$中点时），因此不一定是异面直线。结论②错误。
③ 计算$$\angle MFN$$的余弦值范围：
通过坐标系法或几何分析，可以证明$$\cos \angle MFN \in [0, \frac{\sqrt{5}}{5})$$。结论③正确。
④ 计算$$\triangle FMN$$周长的最小值：
当$$F$$为$$AB$$中点时，周长最小，为$$\sqrt{2} + 1$$。结论④正确。

综上，正确答案是D（①④）。

2. 题目解析：

长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AB=BC=2$$，$$BB_1=1$$，$$M$$为$$A_1B_1$$的中点。

建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$D(2,0,0)$$，$$D_1(2,0,1)$$，$$B(0,2,0)$$，$$C_1(2,2,1)$$，$$M(1,2,1)$$。
平面$$BMC_1$$的法向量：通过向量$$\overrightarrow{BM}=(1,0,1)$$和$$\overrightarrow{BC_1}=(2,0,1)$$，计算法向量为$$(0,1,0)$$。
直线$$PD_1$$平行于平面$$BMC_1$$的条件：$$PD_1$$的方向向量$$(x-2, y, z-1)$$与法向量$$(0,1,0)$$垂直，即$$y=0$$。
$$P$$在底面$$ABCD$$上，故$$z=0$$，$$P(x,0,0)$$。
$$\triangle D_1DP$$的面积：$$DP=\sqrt{(x-2)^2 + 4}$$，$$DD_1=1$$，面积$$S=\frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{(x-2)^2 + 4}$$，最小值为$$\frac{\sqrt{5}}{5}$$（当$$x=2$$时）。

正确答案是A。

3. 题目解析：

正四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，$$AB=1$$，$$AA_1=2$$。

A选项：对于任意$$P$$（非$$B$$），存在$$Q$$使得$$PQ \parallel$$平面$$A_1C_1D$$。正确，因为平面$$A_1C_1D$$与$$BB_1$$平行。
B选项：对于任意$$Q$$（非$$B$$），存在$$P$$使得$$PQ \parallel$$平面$$A_1C_1D$$。错误，因为$$Q$$接近$$A$$时，$$P$$需在$$BB_1$$上无限延伸。
C选项：对于任意$$P$$，存在$$Q$$使得$$CP \perp D_1Q$$。正确，因为$$CP$$与$$D_1Q$$可以垂直。
D选项：对于任意$$Q$$，存在$$P$$使得$$CP \perp D_1Q$$。正确，类似C选项。

错误结论是B。

4. 题目解析：

正四面体$$ABCD$$，$$CP=2PD$$，比较二面角$$\alpha$$、$$\beta$$、$$\gamma$$。

$$\alpha$$为$$A-BC-D$$的二面角，固定值$$\arccos(\frac{1}{3})$$。
$$\beta$$为$$P-AB-D$$的二面角，计算得$$\beta < \alpha$$。
$$\gamma$$为$$C-AP-B$$的二面角，计算得$$\gamma > \alpha$$。

因此，$$\beta < \alpha < \gamma$$，正确答案是A。

5. 题目解析：

题目描述不完整，无法解析。

6. 题目解析：

正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，棱长$$\sqrt{2}$$，$$P$$为$$A_1C_1$$的中点。

建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$D(0,\sqrt{2},0)$$，$$A_1(0,0,\sqrt{2})$$，$$C_1(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})$$，$$P(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$$。
$$E$$在$$A_1D$$上，$$F$$在$$BC_1$$上，求$$PE + PF$$的最小值。
通过对称性，最小值出现在$$E$$和$$F$$的对称位置，计算得最小值为$$\sqrt{3}$$。

正确答案是B。

7. 题目解析：

题目描述不完整，无法解析。

8. 题目解析：

正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，$$P$$在$$BD_1$$上，求$$\cos \angle APC$$的最小值。

建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$，$$BD_1$$的参数方程为$$(t, 1-t, t)$$。
计算$$\cos \angle APC$$：通过向量$$\overrightarrow{AP}$$和$$\overrightarrow{CP}$$，利用余弦公式，最小值为$$-\frac{1}{3}$$。

正确答案是A。

9. 题目解析：

长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，底面$$ABCD$$为边长为$$2$$的正方形，$$F$$为$$CC_1$$中点，$$E$$在$$AD$$上，$$P$$在$$C_1D_1$$上，满足$$\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF} = 0$$。

设$$AA_1 = h$$，$$E(0, y, 0)$$，$$F(2, 2, \frac{h}{2})$$，$$P(x, 2, h)$$。
向量$$\overrightarrow{PE} = (-x, y-2, -h)$$，$$\overrightarrow{PF} = (2-x, 0, \frac{h}{2} - h)$$。
点积条件：$$-x(2-x) - h(-\frac{h}{2}) = 0$$，即$$x^2 - 2x + \frac{h^2}{2} = 0$$。
判别式$$\Delta = 4 - 2h^2 \geq 0$$，故$$h \leq \sqrt{2}$$。

最大值为$$\sqrt{2}$$，正确答案是C。

10. 题目解析：

题目描述不完整，无法解析。

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