路径最短问题-立体几何初步的拓展与综合知识点专题进阶单选题自测题解析-贵州省等高二数学必修,平均正确率50.0%

已知圆锥母线长 $$l = 5 \text{cm}$$，底面半径 $$r = \frac{5}{3} \text{cm}$$。蚂蚁从底面圆周点 A 出发沿侧面爬行一周回到 A，求最短路程。

将圆锥侧面展开为扇形，其半径为母线长 $$l = 5$$，弧长为底面周长 $$2\pi r = 2\pi \times \frac{5}{3} = \frac{10\pi}{3}$$。

扇形圆心角 $$\theta = \frac{\text{弧长}}{\text{半径}} = \frac{\frac{10\pi}{3}}{5} = \frac{2\pi}{3}$$。

最短路程为展开扇形中弦 AA' 的长度，对应圆心角 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。

由余弦定理：$$AA' = \sqrt{l^2 + l^2 - 2l^2 \cos \theta} = \sqrt{2l^2(1 - \cos \theta)}$$。

代入 $$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$，得：

$$AA' = \sqrt{2 \times 5^2 \times \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)} = \sqrt{50 \times \frac{3}{2}} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$。