与球有关的切、接问题-立体几何初步的拓展与综合知识点考前进阶单选题自测题答案-湖南省等高二数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1. 设圆台上底面半径为 $$r$$，则下底面半径为 $$2r$$，内切球半径 $$R = \sqrt{2}$$。由圆台内切球性质，母线长 $$l = r + 2r = 3r$$，高 $$h = \sqrt{l^2 - (2r - r)^2} = \sqrt{9r^2 - r^2} = 2\sqrt{2}r$$。

内切球与侧面相切，球心到母线距离为 $$R$$，利用面积法：$$\frac{1}{2}(r + 2r) \cdot h = \frac{1}{2}(r + 2r + 3r) \cdot R$$，代入得 $$3r \cdot 2\sqrt{2}r = 6r \cdot \sqrt{2}$$，解得 $$r = 1$$。

圆台体积公式：$$V = \frac{1}{3}\pi h (r^2 + 2r \cdot r + (2r)^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot (1 + 2 + 4) = \frac{14\sqrt{2}\pi}{3}$$。

答案：B

2. 三棱锥 $$P-ABC$$ 为鳖臑，$$PA \perp$$ 平面 $$ABC$$，且 $$AC = 4$$。四个面均为直角三角形，故 $$PA, AB, AC$$ 两两垂直，可设 $$PA = a$$，$$AB = b$$，则 $$PC = \sqrt{a^2 + 4}$$，$$PB = \sqrt{a^2 + b^2}$$，$$BC = \sqrt{b^2 + 4}$$。

外接球球心为各边中垂面交点，因 $$PA \perp AB$$，$$PA \perp AC$$，$$AB \perp AC$$，类比长方体，外接球直径 $$2R = \sqrt{a^2 + b^2 + 4}$$。

但需满足所有面为直角三角形，无额外约束，故 $$a$$ 和 $$b$$ 可任意，但球半径应固定？实际上，鳖臑定义要求四个面均为直角三角形，但 $$P-ABC$$ 的顶点 $$P$$ 在球上，球表面积应唯一。

考虑特殊情形：设 $$PA = AB = 2$$，则 $$PC = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$，$$PB = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$，$$BC = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$，所有棱长确定，外接球直径 $$2R = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$，$$R = \sqrt{6}$$，表面积 $$S = 4\pi R^2 = 24\pi$$。

答案：C

3. 题目异常，无法解析。

4. 四个足球彼此相切，三个在地面，一个在上方。每个足球直径 $$d = 20$$ cm，半径 $$r = 10$$ cm。

下方三个球心构成边长为 $$2r = 20$$ cm 的等边三角形，上方球心与下方三个球心等距。设上方球心为 $$O$$，下方某球心为 $$A$$，则 $$OA = 2r = 20$$ cm。

下方三角形中心 $$C$$ 到顶点距离为 $$\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$ cm。$$O$$ 在 $$C$$ 正上方，故 $$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{400 - \frac{400}{3}} = \sqrt{\frac{800}{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3}$$ cm。

最高点离地距离为 $$OC + r + r = \frac{20\sqrt{6}}{3} + 10 + 10 = \frac{20\sqrt{6}}{3} + 20$$ cm。

答案：B

5. 等腰梯形 $$ABCD$$，$$AB = 2$$，$$DC = 1$$，$$\angle DAB = 60^\circ$$，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点。折起后 $$A$$ 和 $$B$$ 重合于 $$P$$，求三棱锥 $$P-DCE$$ 外接球体积。

计算各棱长：$$AD = BC = 1$$（因为 $$\angle A = 60^\circ$$，$$AB = 2$$，$$DC = 1$$），$$DE = CE = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{1 + 1 - 1} = 1$$，$$DC = 1$$，故 $$\triangle DCE$$ 为边长为 1 的正三角形。

$$P$$ 为 $$A$$ 和 $$B$$ 重合点，$$PA = PB = 1$$，且 $$PE \perp$$ 平面 $$DCE$$？实际上，折起后 $$P$$ 在 $$E$$ 正上方，设 $$PE = h$$。

由 $$PD = AD = 1$$，$$PC = BC = 1$$，且 $$D$$ 和 $$C$$ 固定，可求 $$h$$：$$PD^2 = h^2 + DE^2$$，即 $$1 = h^2 + 1$$，得 $$h = 0$$，矛盾？重新审视。

实际上，折起后 $$P$$ 到 $$D$$ 和 $$C$$ 距离为 1，$$E$$ 为中点，故 $$P$$ 在过 $$E$$ 垂直于 $$DC$$ 的平面上。设 $$P$$ 坐标为 $$(0,0,h)$$，$$E$$ 为原点，$$DC$$ 在 $$x$$-轴上，则 $$D(-1/2, -\sqrt{3}/6, 0)$$，$$C(1/2, -\sqrt{3}/6, 0)$$，$$E(0, \sqrt{3}/3, 0)$$？更简单：外接球球心在过 $$\triangle DCE$$ 外心且垂直平面的线上。

$$\triangle DCE$$ 外接半径 $$R_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。设球心到平面距离为 $$d$$，则 $$R^2 = d^2 + R_1^2$$，且 $$R^2 = (h - d)^2$$（因 $$P$$ 到球心距离为 $$R$$）。又 $$PD = 1$$，$$P$$ 到 $$D$$ 距离平方为 $$h^2 + DE^2 - 2 \cdot DE \cdot \cos \theta$$，但复杂。

实际上，$$P$$ 到 $$D$$、$$C$$、$$E$$ 距离均为 1，故 $$P$$ 在平面 $$DCE$$ 的投影为 $$\triangle DCE$$ 的外心，即 $$d = h$$，且 $$R_1^2 + h^2 = 1$$，故 $$h = \sqrt{1 - 1/3} = \sqrt{2/3}$$，$$R = \sqrt{R_1^2 + h^2} = 1$$。

体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi$$，但无此选项？错误。

重新计算：$$R_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$h = \sqrt{1 - R_1^2} = \sqrt{1 - 1/3} = \sqrt{2/3}$$，球半径 $$R = \sqrt{R_1^2 + (h/2)^2} = \sqrt{1/3 + 1/6} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$？不对。

正确：球心在 $$P$$ 和平面之间，设距离平面为 $$x$$，则 $$R^2 = R_1^2 + x^2$$，且 $$R^2 = h^2 + (R_1 - x)^2$$？不，$$P$$ 到球心距离为 $$h - x$$。

得 $$R_1^2 + x^2 = (h - x)^2$$，代入 $$R_1^2 = 1/3$$，$$h = \sqrt{2/3}$$，解 $$1/3 + x^2 = 2/3 - 2hx + x^2$$，$$2hx = 1/3$$，$$x = \frac{1}{6h} = \frac{1}{6\sqrt{2/3}} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$$。

则 $$R^2 = 1/3 + 1/72 = 24/72 + 1/72 = 25/72$$，$$R = 5/6\sqrt{2} = 5\sqrt{2}/12$$，体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{125 \cdot 2\sqrt{2}}{1728} = \frac{1000\sqrt{2}\pi}{5184} = \frac{125\sqrt{2}\pi}{648}$$，不匹配选项。

可能 $$P$$ 到 $$D$$ 和 $$C$$ 距离不为 1？因为折起后 $$PA = AD = 1$$，$$PB = BC = 1$$，故应正确。选项较小，可能 $$R$$ 很小。

实际上，$$P$$ 到 $$E$$ 距离为 $$h$$，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点，$$AE = 1$$，故 $$h = \sqrt{PA^2 - AE^2} = \sqrt{1 - 1} = 0$$？这不可能。

错误：折起后 $$P$$ 到 $$E$$ 距离不变，为 $$AE = 1$$？但 $$PA = 1$$，故 $$PE = 1$$？实际上，$$A$$ 和 $$B$$ 重合于 $$P$$，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点，故 $$PE$$ 垂直平分 $$AB$$，且 $$PA = 1$$，$$AE = 1$$，故 $$PE = 0$$？矛盾。

重新审题：$$AB = 2$$，$$DC = 1$$，$$\angle A = 60^\circ$$，则 $$AD = 1$$，$$BC = 1$$，$$DE$$ 和 $$CE$$ 为中位线？$$E$$ 为 $$AB$$ 中点，故 $$DE$$ 连接 $$D$$ 和 $$AB$$ 中点，$$CE$$ 同理。

折起后 $$A$$ 和 $$B$$ 重合，故 $$P$$ 到 $$D$$、$$E$$、$$C$$ 距离分别为 $$AD$$、$$AE$$、$$BC$$，即均为 1。故三棱锥 $$P-DCE$$ 所有棱长为 1，是正四面体？但 $$DC = 1$$，$$DE = ?$$ 计算 $$DE$$：$$D$$ 到 $$E$$ 距离，在梯形中，$$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$\angle A = 60^\circ$$，故 $$D(0.5, \sqrt{3}/2)$$，$$E(1,0)$$，则 $$DE = \sqrt{(0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$$。同理 $$CE = 1$$。故 indeed 所有边为 1，是正四面体。

正四面体外接球半径 $$R = \frac{\sqrt{6}}{4}$$，体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}}{64} = \frac{\sqrt{6}\pi}{8}$$。

答案：B

6. 长方体长宽高为 $$3, 1, \sqrt{6}$$，外接球直径 $$2R = \sqrt{3^2 + 1^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{9 + 1 + 6} = \sqrt{16} = 4$$，$$R = 2$$，表面积 $$S = 4\pi R^2 = 16\pi$$。

答案：A

7. 直三棱柱，底面直角三角形，直角边 $$1$$ 和 $$\sqrt{3}$$，斜边 $$2$$，高 $$h = 2\sqrt{3}$$。外接球球心在底面外心和中点连线上。

底面外接半径 $$r = \frac{2}{2} = 1$$，球半径 $$R = \sqrt{r^2 + (h/2)^2} = \sqrt{1 + ( \sqrt{3} )^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$，体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\pi}{3}$$。

答案：C

8. 三棱锥 $$S-ABC$$，$$\triangle ABC$$ 边长为 $$2$$，体积最大为 $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，求外接球表面积。

体积最大时，$$S$$ 在过 $$ABC$$ 外心且垂直平面的线上，且 $$S$$ 到平面距离 $$h$$ 使体积 $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{3} h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故 $$h = 2$$。

底面外接半径 $$R_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$$，球半径 $$R = \sqrt{R_1^2 + (h/2)^2} = \sqrt{\frac{4}{3} + 1} = \sqrt{\frac{7}{3}}$$，表面积 $$S = 4\pi R^2 = \frac{28\pi}{3}$$，但无选项。

可能球心在底面？若 $$S$$ 在球对面，则 $$R = \sqrt{R_1^2 + (h - R)^2}$$，解得 $$R = \frac{R_1^2 + h^2}{2h} = \frac{4/3 + 4}{4} = \frac{16/3}{4} = \frac{4}{3}$$，$$S = \frac{64\pi}{9}$$。

答案：B

9. $$A,B,C,D$$ 同球，$$\triangle ABC$$ 为斜边长 $$6$$ 的等腰直角三角形，故直角边 $$6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$。三棱锥 $$D-ABC$$ 体积最大为 $$27$$。

体积 $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot h = 3h = 27$$，故 $$h = 9$$。

底面外接半径 $$R_1 = \frac{6}{2} = 3$$，球半径 $$R = \sqrt{R_1^2 + (h/2)^2} = \sqrt{9 + (4.5)^2} = \sqrt{9 + 20.25} = \sqrt{29.25} = \frac{\sqrt{117}}{2}$$，不整。

若 $$D$$ 在球对面，则 $$R = \frac{R_1^2 + h^2}{2h} = \frac{9 + 81}{18} = \frac{90}{18} = 5$$，表面积 $$S = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$$。

答案：C

10. 直三棱柱 $$A_1B_1C_1-ABC$$，$$A_1B_1=3$$，$$B_1C_1=4$$，$$A_1C_1=5$$，$$AA_1=2$$。求外接球与内切球表面积比。

底面为直角三角形（因 $$3^2+4^2=5^2$$），外接半径 $$r = \frac{5}{2} = 2.5$$。

外接球半径 $$R = \sqrt{r^2 + (AA_1/2)^2} = \sqrt{6.25 + 1} = \sqrt{7.25} = \frac{\sqrt{29}}{2}$$。

内切球半径：直三棱柱内切球存在当且仅当底面有内切圆？底面直角边 $$3$$ 和 $$4$$，斜边 $$5$$，内切半径 $$r_{in} = \frac{3+4-5}{2} = 1$$。但柱高 $$2$$，故内切球半径取 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}