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正确率40.0%已知正三棱锥$$P-A B C$$的$${{6}}$$条棱长均为$${{6}}$$，$${{S}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$及其内部的点构成的集合，设集合$$T=\{Q \in S \mid P Q \leqslant5 \}$$，则$${{T}}$$表示的区域的面积为（）
B
A.$$\frac{3 \pi} {4}$$
B.$${{π}}$$
C.$${{2}{π}}$$
D.$${{3}{π}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '路径最短问题'， '立体几何中的动态问题'， '两角和与差的余弦公式'， '平面与平面平行的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理'， '立体几何中的轨迹问题'， '平面与平面平行的判定定理']正确率19.999999999999996%svg异常
A
A.$$\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}} {2}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{+}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{4+\sqrt{3}+\sqrt{7}} {4}$$
3、['三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面所成的角'， '平面与平面平行的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理'， '立体几何中的轨迹问题'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%svg异常
B
A.若$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，则$${{P}{C}{=}{2}}$$
B.若$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形，则$$A P \perp B C$$
C.当$$\angle A C B=9 0^{\circ}$$时，$${{P}{C}}$$与平面$${{P}{A}{B}}$$所成角的范围为$$( 0， ~ \frac{\pi} {4} ]$$
D.当$${{P}{C}{=}{4}}$$时，$${{M}}$$为平面$${{P}{B}{C}}$$内动点，若$${{O}{M}{/}{/}}$$平面$${{P}{A}{C}}$$，则$${{M}}$$在三角形$${{P}{B}{C}}$$内的轨迹长度为$${{2}}$$
4、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%已知直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的底面为等边三角形，且底面积为$$\frac{\sqrt{3}} {4}，$$体积为$$\frac{\sqrt{3}} {4}，$$点$${{P}{，}{Q}}$$分别为线段$$A_{1} B， \ B_{1} C$$上的动点，若直线$${{P}{Q}{∩}}$$平面$$A C C_{1} \， A_{1}=\emptyset$$，点$${{M}}$$为线段$${{P}{Q}}$$的中点，则点$${{M}}$$的轨迹长度为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
5、['圆的定义与标准方程'， '与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题'， '立体几何中的轨迹问题'， '平面与平面平行的判定定理']正确率19.999999999999996%已知正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的底面边长为$${{2}{，}}$$侧棱$$A A_{1}=1， ~ P$$为上底面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$上的动点，则下列结论中错误的为（）
C
A.若$$P D=3，$$则满足条件的点$${{P}}$$有且只有一个
B.若$$P D=\sqrt{3}，$$则点$${{P}}$$的轨迹是一段圆弧
C.若$${{P}{D}{/}{/}}$$平面$${{A}{C}{{B}_{1}}{，}}$$则线段$${{D}{P}}$$的长的最小值为$${{2}}$$
D.若$${{P}{D}{/}{/}}$$平面$${{A}{C}{{B}_{1}}{，}}$$且$$P D=\sqrt{3}，$$则平面$${{B}{D}{P}}$$截正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的外接球所得平面图形的面积为$$\frac{9 \pi} {4}$$
6、['异面直线垂直'， '直线与平面垂直的性质定理'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{2}}$$，$${{M}}$$为$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，点$${{N}}$$在侧面$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$内，若$$B M \perp A_{1} N$$．则$${{△}{A}{B}{N}}$$面积的最小值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{5}}$$
7、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%svg异常
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
8、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '空间向量的线性运算'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
D.$$\frac{8 \sqrt{5}} {5}$$
9、['棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$棱长为$${{3}}$$，点$${{E}}$$在边$${{B}{C}}$$上，且满足$$B E=2 E C$$，动点$${{M}}$$在正方体表面上运动，并且总保持$$M E \perp B D_{1}$$，则动点$${{M}}$$的轨迹的周长为（）
A
A.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
10、['抛物线的定义'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$为侧面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$所在平面上的一个动点，且$${{M}}$$到平面$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$的距离与$${{M}}$$到直线$${{B}{C}}$$距离相等，则动点$${{M}}$$的轨迹为（）
A
A.抛物线
B.双曲线
C.圆
D.椭圆
1. 题目解析：
已知正三棱锥$$P-ABC$$的6条棱长均为6，集合$$T=\{Q \in S \mid PQ \leqslant5\}$$，求$$T$$表示的区域的面积。
解题步骤：
1.1 计算底面三角形的高：$$h = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \times 6 = 3\sqrt{3}$$
1.2 计算底面面积：$$S_{\triangle ABC} = \frac{{1}}{{2}} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$
1.3 计算三棱锥的高：$$H = \sqrt{6^2 - \left(\frac{{2}}{{3}} \times 3\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{36 - 12} = 2\sqrt{6}$$
1.4 求满足$$PQ \leqslant5$$的区域：这是一个以$$P$$为球心，半径为5的球与底面$$ABC$$的交集。
1.5 计算球与底面的交线半径：$$r = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 - 24} = 1$$
1.6 区域面积：$$\pi r^2 = \pi$$
答案：
B.$$\pi$$
2. 题目解析：
由于题目描述不完整，无法给出详细解析。
3. 题目解析：
由于题目描述不完整，无法给出详细解析。
4. 题目解析：
已知直三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$的底面为等边三角形，底面积为$$\frac{{\sqrt{3}}}{{4}}$$，体积为$$\frac{{\sqrt{3}}}{{4}}$$，求点$$M$$的轨迹长度。
解题步骤：
4.1 计算底面边长：设边长为$$a$$，则$$\frac{{\sqrt{3}}}{{4}}a^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}$$，得$$a=1$$
4.2 计算高：体积=底面积×高，$$\frac{{\sqrt{3}}}{{4}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times h$$，得$$h=1$$
4.3 分析轨迹：由于直线$$PQ$$与平面$$ACC_1A_1$$不相交，$$M$$的轨迹为平行于底面的中位线，长度为$$\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$
答案：
D.$$\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$
5. 题目解析：
已知正四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的底面边长为2，侧棱$$AA_1=1$$，判断选项正误。
解题步骤：
5.1 选项A：$$PD=3$$时，点$$P$$在以$$D$$为球心，半径为3的球面上，且在上底面内，满足条件的点唯一。
5.2 选项B：$$PD=\sqrt{3}$$时，点$$P$$的轨迹是圆弧。
5.3 选项C：$$DP$$的最小值为$$\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$$，与选项矛盾。
5.4 选项D：计算得平面截球所得图形面积为$$\frac{{9\pi}}{{4}}$$。
答案：
C.若$$PD//$$平面$$ACB_1$$，则线段$$DP$$的长的最小值为2
6. 题目解析：
已知正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的棱长为2，$$M$$为$$CC_1$$的中点，求$$\triangle ABN$$面积的最小值。
解题步骤：
6.1 建立坐标系，设$$N(x,0,z)$$。
6.2 由$$BM \perp A_1N$$，得$$x + z = 1$$。
6.3 $$\triangle ABN$$面积：$$S = \frac{{1}}{{2}} \times 2 \times \sqrt{x^2 + z^2}$$
6.4 最小值为$$\frac{{2\sqrt{5}}}{{5}}$$。
答案：
B.$$\frac{{2\sqrt{5}}}{{5}}$$
7. 题目解析：
由于题目描述不完整，无法给出详细解析。
8. 题目解析：
由于题目描述不完整，无法给出详细解析。
9. 题目解析：
已知正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$棱长为3，点$$E$$在边$$BC$$上，且$$BE=2EC$$，求动点$$M$$的轨迹周长。
解题步骤：
9.1 计算$$E$$点坐标：$$E(3,1,0)$$。
9.2 由$$ME \perp BD_1$$，得$$M$$的轨迹为平面与正方体表面的交线。
9.3 计算轨迹周长为$$3\sqrt{3}$$。
答案：
D.$$3\sqrt{3}$$
10. 题目解析：
已知正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，点$$M$$满足到平面$$ADD_1A_1$$的距离等于到直线$$BC$$的距离，判断轨迹形状。
解题步骤：
10.1 建立坐标系，设$$M(x,y,z)$$。
10.2 由条件得$$x = \sqrt{y^2 + z^2}$$，即$$x^2 = y^2 + z^2$$。
10.3 轨迹为抛物线。
答案：
A.抛物线