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正确率40.0%在四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，$${{P}{A}{=}{2}}$$，点$${{M}}$$是矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$内(含边界)的动点，且$${{A}{B}{=}{1}}$$，$${{A}{D}{=}{3}}$$，直线$${{P}{M}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$$\frac{\pi} {4}.$$记点$${{M}}$$的轨迹长度为$${{α}}$$，则$${{t}{a}{n}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['路径最短问题'， '棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的动态问题']正确率40.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{P}}$$是对角线$${{A}{{C}_{1}}}$$上一点，$${{Q}}$$是底面$${{A}{B}{C}{D}}$$上一点．若$${{A}{B}{=}{\sqrt {2}}{，}{B}{C}{=}{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，则$${{P}{{B}_{1}}{+}{P}{Q}}$$的最小值为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['路径最短问题'， '点到直线的距离'， '棱柱的结构特征及其性质'， '多面体的展开图'， '立体几何中的动态问题']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${\sqrt {2}{，}}$$点$${{P}}$$为对角线$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，$${{E}{，}{F}}$$分别为对角线$${{A}_{1}{D}{，}{B}{{C}_{1}}{(}}$$含端点)上的动点，则$${{P}{E}{+}{P}{F}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
10、['立体几何中的动态问题'， '数学探究活动（一）：正方体截面探究'， '直线与平面平行的性质定理']正确率40.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{D}{=}{D}{{D}_{1}}{=}{1}{，}{A}{B}{=}{\sqrt {3}}{，}}$$$${{E}{，}{F}{，}{G}}$$分别是棱$${{A}{B}{，}{B}{C}{，}{C}{{C}_{1}}}$$的中点，$${{P}}$$是底面$${{A}{B}{C}{D}}$$内一动点，若直线$${{D}_{1}{P}}$$与平面$${{E}{F}{G}}$$没有公共点，则三角形$${{P}{B}{{B}_{1}}}$$面积的最小值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
以下是各题的详细解析：
3. 解析：
由于 $$PA \perp$$ 平面 $$ABCD$$，直线 $$PM$$ 与平面 $$ABCD$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{4}$$，因此 $$\angle PMA = \frac{\pi}{4}$$。在直角三角形 $$PAM$$ 中，$$PA = 2$$，所以 $$AM = PA \cdot \tan \frac{\pi}{4} = 2$$。
点 $$M$$ 必须在矩形 $$ABCD$$ 内且满足 $$AM = 2$$。矩形 $$ABCD$$ 的边长 $$AB = 1$$，$$AD = 3$$。设 $$M(x, y)$$，则 $$AM = \sqrt{x^2 + y^2} = 2$$。由于 $$M$$ 在矩形内，$$x \in [0, 3]$$，$$y \in [0, 1]$$。
轨迹为四分之一圆弧，圆心在 $$A$$，半径 $$2$$，角度范围 $$\theta \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right]$$（因为当 $$y = 1$$ 时，$$x = \sqrt{3}$$）。因此，弧长 $$\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$。
$$\tan \alpha = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$，故选 C。
7. 解析：
将长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 展开，使得 $$AC_1$$ 为直线。设 $$AB = \sqrt{2}$$，$$BC = AA_1 = 1$$，则 $$AC_1 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2 + 1^2} = 2$$。
$$PB_1 + PQ$$ 的最小值等价于在展开图中 $$B_1$$ 到 $$Q$$ 的最短距离。通过对称性，最小值为 $$\frac{3}{2}$$，故选 A。
8. 解析：
正方体棱长为 $$\sqrt{2}$$，对角线 $$A_1C_1 = 2$$。点 $$P$$ 为 $$A_1C_1$$ 的中点，坐标为 $$P(1, 1, 0)$$。
设 $$E$$ 在 $$A_1D$$ 上，$$F$$ 在 $$BC_1$$ 上。通过对称性和几何分析，$$PE + PF$$ 的最小值为 $$2$$，故选 C。
10. 解析：
长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$AD = DD_1 = 1$$，$$AB = \sqrt{3}$$。$$E, F, G$$ 分别为 $$AB, BC, CC_1$$ 的中点。
平面 $$EFG$$ 的方程为 $$x + \sqrt{3}y - 2z = 1$$。直线 $$D_1P$$ 与平面 $$EFG$$ 无交点，等价于 $$P$$ 在平面 $$EFG$$ 的平行平面内。
通过计算，三角形 $$PBB_1$$ 的最小面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$，故选 C。