平面向量的概念-6.2 平面向量的运算知识点回顾进阶自测题答案-云南省等高二数学必修,平均正确率54.0%

2、设$$a$$是任一向量，$$e$$是单位向量，且$$a \parallel e$$，则下列表示形式中正确的是（ ）。

解析：由于$$a \parallel e$$，存在实数$$\lambda$$使得$$a = \lambda e$$。又因为$$|e| = 1$$，所以$$|a| = |\lambda|$$，即$$\lambda = \pm |a|$$。因此$$a = \pm |a| e$$。

答案：D

3、若$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$$且$$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$$，则四边形$$ABCD$$的形状为（ ）。

解析：由$$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$$，可得$$BA \parallel CD$$且$$|BA| = |CD|$$，说明$$AB$$与$$CD$$平行且相等，因此$$ABCD$$是平行四边形。又$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$$，即邻边相等，所以是菱形。

答案：C

4、已知点$$P$$在双曲线$$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$上，点$$A$$满足$$\overrightarrow{PA} = (t-1)\overrightarrow{OP} \ (t \in R)$$，且$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = 64$$，$$\overrightarrow{OB} = (0, 1)$$。则$$|\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA}|$$的最大值为（ ）。

解析：由$$\overrightarrow{PA} = (t-1)\overrightarrow{OP}$$，得$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PA} = t\overrightarrow{OP}$$。设$$\overrightarrow{OP} = (x, y)$$，则$$\overrightarrow{OA} = (tx, ty)$$。代入$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = t(x^2 + y^2) = 64$$。又$$P$$在双曲线上，有$$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$。令$$x = 4\sec\theta$$，$$y = 3\tan\theta$$，则$$x^2 + y^2 = 16\sec^2\theta + 9\tan^2\theta$$。$$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} = ty$$。由$$t = \frac{64}{x^2 + y^2}$$，得$$|\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA}| = |ty| = \frac{64|y|}{x^2 + y^2}$$。代入参数形式，求最大值，经计算可得最大值为$$\frac{24}{5}$$。

答案：B

5、已知向量$$\overrightarrow{a} = (\cos\alpha, -2)$$，$$\overrightarrow{b} = (\sin\alpha, 1)$$且$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$\tan\alpha$$等于（ ）。

解析：由平行关系，存在$$\lambda$$使得$$\cos\alpha = \lambda \sin\alpha$$，$$-2 = \lambda \cdot 1$$，即$$\lambda = -2$$。代入得$$\cos\alpha = -2 \sin\alpha$$，即$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{2}$$。

答案：B

6、设$$\overrightarrow{a} = (5, \theta)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, \frac{\pi}{3})$$，且$$\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$$，则$$\tan\theta =$$（ ）。

解析：由$$\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$$，得$$5 = \lambda \cdot 2$$，即$$\lambda = \frac{5}{2}$$。又$$\theta = \frac{\pi}{3}$$（因为方向角相同），所以$$\tan\theta = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$。

答案：C

7、已知正方形$$ABCD$$边长为$$1$$，则$$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}| =$$（ ）。

解析：$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$，所以原式$$= |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AC}| = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$。

答案：D

8、在$$\triangle ABC$$上，点$$D$$满足$$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$，则（ ）。

解析：设$$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则$$\overrightarrow{AD} = 2\vec{b} - \vec{c}$$。$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{c} = -(\vec{c} - \vec{b}) = -\overrightarrow{CB}$$，即$$\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{CB}$$，所以$$D$$在$$CB$$的延长线上。

答案：D

9、已知向量$$\vec{a} = (1, 2)$$，$$\vec{b} = (3, 1)$$，$$\vec{c} = (11, 7)$$，若$$\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}$$，则$$k、l$$的值为（ ）。

解析：由$$k(1,2) + l(3,1) = (11,7)$$，得方程组：$$k + 3l = 11$$，$$2k + l = 7$$。解得$$k = 2$$，$$l = 3$$。

答案：D

10、已知$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AB}| = 2$$，$$|\overrightarrow{OB}| = 1$$，则$$|\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}| =$$（ ）。

解析：设$$\theta$$为$$\overrightarrow{OA}$$与$$\overrightarrow{OB}$$夹角。由$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| = 2$$，平方得$$|\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4$$，即$$4 + 1 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4$$，得$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}$$。$$|\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 9|\overrightarrow{OB}|^2 + 6\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4 + 9 + 3 = 16$$，所以结果为$$4$$。

答案：B