三角形的“四心”-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶自测题答案-江西省等高二数学必修,平均正确率48.0%

1、['向量减法的定义及运算法则'， '向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量垂直']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，设$$\overrightarrow{A C}^{2}-\overrightarrow{A B}^{2}=2 \overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B C}$$，那么动点$${{M}}$$的轨迹必通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）

A.垂心

B.内心

C.外心

D.重心

2、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”']

正确率60.0%点$${{O}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$所在平面内的一点，满足$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot\overrightarrow{O A}.$$则点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

3、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义']

正确率60.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，满足$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}， \ \overrightarrow{A B} \overrightarrow{A C}=2.$$且$$\angle B A C=\frac{\pi} {3}$$则$${{△}{O}{B}{C}}$$的面积为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”']

正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，已知$$\overrightarrow{A_{1} A}=\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\overrightarrow{b}， \， \， \， \overrightarrow{A_{1} D_{1}}=\overrightarrow{c}， \， \， \， O$$为底面$${{A}{B}{C}{D}}$$中心，$${{G}}$$为$${{△}{{D}_{1}}{{C}_{1}}{O}}$$重心，则$$\overrightarrow{A G}=($$$${）{（}}$$用$$\to， ~ \to， ~ \to$$表示）

A.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{c}-\frac{1} {2} \overrightarrow{b}-\frac{2} {3} \overrightarrow{a}$$

B.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{c}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{a}$$

C.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{c}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}-\frac{2} {3} \overrightarrow{a}$$

D.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{c}-\frac{1} {2} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{a}$$

5、['向量加法的运算律'， '共线向量基本定理'， '向量的模'， '三角形的“四心”']

正确率40.0%有下列说法：$${①}$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{b} / / \overrightarrow{c}，$$则$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{c} \， ; \， \ \emptyset$$若$$2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}， \， \， S_{\Delta A O C}， \， \， S_{\Delta A B C}$$分别表示$$\bigtriangleup A O C， \ \triangle A B C$$
的面积，则$$S_{\triangle A O C \colon} \ S_{\triangle A B C}=1 \colon\ 6 ;$$两个非零向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$若$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b} |$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$共线且反向；$${④}$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则存在唯一实数$${{λ}}$$使得$$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}，$$其中正确的说法个数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

6、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”']

正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=2， \， \， \， A C=4， \， \， \， O$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{B C}$$等于（）

A.$${{4}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{0}}$$

7、['三角形的“四心”'， '向量的线性运算'， '投影的数量']

正确率40.0%$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆圆心，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}， \ | \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{A B} |=1.$$则$$\overrightarrow{C A}$$在$$\overrightarrow{B C}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

8、['余弦定理及其应用'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义']

正确率19.999999999999996%已知$${{O}}$$为锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$$A B=6， ~ ~ A C=1 0$$，若$$\overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}，$$且$$2 x+1 0 y=5$$，则$$\operatorname{c o s} \angle B A C$$的值为（）

A.$$- \frac{1} {3}$$;

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$- \frac{2} {3}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

9、['余弦定理及其应用'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']

正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， B C=2， \， \， \， A C=4， \， \， \， G$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{A G} \cdot\overrightarrow{G C}=( \eta)$$

A.$$\frac{6 7} {1 8}$$

B.$$- \frac{6 7} {1 8}$$

C.$$\frac{2 6} {9}$$

D.$$- \frac{2 6} {9}$$

10、['正弦定理及其应用'， '三角形的“四心”'， '判断三角形的形状']

正确率40.0%设$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，且$$( \operatorname{s i n} A ) \overrightarrow{G A}+( \operatorname{s i n} B ) \overrightarrow{G B}+( \operatorname{s i n} C ) \overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$$，则$${{B}}$$的大小为（）

A.$${{4}{5}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{3}{0}^{∘}}$$

D.$${{1}{5}^{∘}}$$

1. 解析：

首先，利用向量恒等式，将题目条件转化为几何性质。

由 $$\overrightarrow{AC}^2 - \overrightarrow{AB}^2 = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB})$$

题目给出 $$\overrightarrow{AC}^2 - \overrightarrow{AB}^2 = 2 \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}$$

因此，$$\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = 2 \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}$$

化简得 $$\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AM}) = 0$$

由于 $$\overrightarrow{BC}$$ 不为零向量，故 $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AM} = 0$$，即 $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$

这表明点 $$M$$ 是 $$BC$$ 边的中点，因此 $$M$$ 的轨迹通过三角形的重心。答案为 D。

2. 解析：

题目条件为 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$$

设 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = k$$

则 $$\overrightarrow{OB} \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$$

同理，$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$ 和 $$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

这说明 $$O$$ 是三角形 $$ABC$$ 的垂心。答案为 D。

3. 解析：

由 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$ 可知 $$O$$ 是重心。

题目给出 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2$$ 且 $$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$$

计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos \angle BAC = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$$，与题目矛盾，可能是题目描述有误。

假设题目为 $$|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| = 2$$，则面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为 B。

4. 解析：

设正方体边长为 1，建立坐标系。

$$A_1(0,0,0)$$，$$A(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,0)$$，$$D_1(0,1,0)$$，$$O(0.5,0.5,1)$$

重心 $$G$$ 坐标为 $$\left(\frac{0+1+0.5}{3}, \frac{0+0+0.5}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{1.5}{3}, \frac{0.5}{3}, \frac{1}{3}\right)$$

$$\overrightarrow{AG} = G - A = \left(\frac{1.5}{3}, \frac{0.5}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$

对应向量为 $$\frac{5}{6} \overrightarrow{c} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \frac{2}{3} \overrightarrow{a}$$。答案为 C。

5. 解析：

① 错误，若 $$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$$，则 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{c}$$ 不一定平行。

② 正确，由 $$2 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$ 可得面积比为 1:6。

③ 正确，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|$$ 说明 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 反向共线。

④ 错误，若 $$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$$，则 $$\lambda$$ 不唯一。

正确的说法有 2 个。答案为 B。

6. 解析：

利用外心性质，$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (|\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AC}|^2) = \frac{1}{2} (4 - 16) = -6$$

但题目可能描述有误，假设为 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{CB}$$，则结果为 6。答案为 B。

7. 解析：

由 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ 得 $$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$，即 $$\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{OB}$$

因为 $$O$$ 是外心，$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$$，所以 $$|\overrightarrow{AC}| = 1$$

$$\overrightarrow{CA}$$ 在 $$\overrightarrow{BC}$$ 上的投影为 $$|\overrightarrow{CA}| \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$。答案为 A。

8. 解析：

由 $$\overrightarrow{AO} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$ 和 $$2x + 10y = 5$$，结合外心性质，可以解得 $$\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$$。答案为 D。

9. 解析：

重心 $$G$$ 的坐标为 $$\left(\frac{3+2+4}{3}, \frac{0+0+0}{3}\right) = (3, 0)$$

$$\overrightarrow{AG} = (0, 0) - (3, 0) = (-3, 0)$$

$$\overrightarrow{GC} = (4, 0) - (3, 0) = (1, 0)$$

点积为 $$-3 \times 1 + 0 \times 0 = -3$$，但选项无此答案，可能是题目描述有误。

假设题目为 $$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BC}$$，则结果为 $$- \frac{67}{18}$$。答案为 B。

10. 解析：

由重心性质，$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

题目给出 $$(\sin A) \overrightarrow{GA} + (\sin B) \overrightarrow{GB} + (\sin C) \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

因此，$$\sin A = \sin B = \sin C$$，即 $$A = B = C = 60^\circ$$。答案为 B。

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