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正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{3}{x}{+}{\sqrt {3}}{{c}{o}{s}}{3}{x}{(}{x}{∈}{R}{)}}$$，曲线$${{f}{(}{x}{)}}$$与直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}}$$的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {3}， ~ \frac{5} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {6}， ~ \frac{5} {6}$$
C.$$\frac{\pi} {9}， ~ \frac{5} {9}$$
D.$$\frac{\pi} {1 2}， ~ \frac{5} {1 2}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '正弦定理及其应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，已知$$A=\frac{\pi} {3}， \， \， \， a=1$$，求$${{b}{+}{c}}$$的取值范围（）
D
A.$${（{1}{，}{\sqrt {3}}{）}}$$
B.$${（{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$
C.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{1}{，}{2}{]}}$$
4、['解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}}$$且满足$${{2}{b}{{c}{o}{s}}{A}{+}{b}{−}{c}{=}{0}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n}^{2} B} {\operatorname{s i n} ( A-B )}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
C.$$( \frac{1} {2}， ~ 1 )$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
5、['解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}}$$且$$\overrightarrow{B C^{2}}=2 \overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{A B}，$$则$$\frac{b} {c}$$的取值范围为（）
D
A.$${{(}{2}{−}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{2}{+}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{2}{+}{\sqrt {3}}{)}}$$
D.$${{(}{2}{−}{\sqrt {3}}{，}{2}{+}{\sqrt {3}}{)}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率60.0%在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$分别为内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边，已知$${{b}^{2}{+}{{c}^{2}}}$$$${{=}{{a}^{2}}{+}{b}{c}{，}}$$$${{b}{=}{2}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$${{S}}$$的取值范围是（）
C
A.$$\left[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{3} \right)$$
B.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{2} \right]$$
C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{3} \right)$$
D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{2} \right)$$
7、['解三角形中的最值（范围）问题'， '直线的斜率']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$${{A}{(}{−}{1}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{1}{，}{0}{)}{，}{C}{(}{0}{，}{1}{)}}$$，经过原点的直线$${{l}}$$将$${{△}{A}{B}{C}}$$分成左$${、}$$右两部分，记左$${、}$$右两部分的面积分别为$${{S}_{1}{、}{{S}_{2}}}$$，则$$\frac{( 1+S_{1} )^{2}} {1-S_{2}^{2}}$$取得最小值时，直线$${{l}}$$的斜率$${{(}{)}}$$
D
A.等于$${{1}}$$
B.等于$${{−}{1}}$$
C.等于$$\frac{1} {2}$$
D.不存在
8、['数量积的性质'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%半圆的直径$${{A}{B}{=}{4}{，}{O}}$$为圆心，$${{C}}$$是半圆上不同于$${{A}{、}{B}}$$的任意一点，若$${{P}}$$为半径$${{O}{C}}$$上的动点，则$$\left( \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B} \right) \cdot\overrightarrow{P C}$$的最小值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{4}}$$
1. 首先将函数 $$f(x) = \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x$$ 化简为单一三角函数形式：
$$f(x) = 2 \sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right)$$
解方程 $$2 \sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$$，即 $$\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
解得 $$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$ 或 $$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$，其中 $$k \in \mathbb{Z}$$。
因此，交点的横坐标为 $$x = \frac{2k\pi}{3}$$ 或 $$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$$。
相邻交点的距离最小值为 $$\frac{\pi}{9}$$，最大值为 $$\frac{5\pi}{9}$$（当 $$k = 0$$ 和 $$k = 1$$ 时）。
正确答案为 C。
2. 在 $$△ABC$$ 中，已知 $$A = \frac{\pi}{3}$$，$$a = 1$$，利用正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
因此，$$b = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin B$$，$$c = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin C$$。
由于 $$C = \frac{2\pi}{3} - B$$，所以：
$$b + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \sin B + \sin \left( \frac{2\pi}{3} - B \right) \right)$$
利用和差化积公式化简：
$$b + c = 2 \sin \left( B + \frac{\pi}{6} \right)$$
因为 $$B \in \left( 0, \frac{2\pi}{3} \right)$$，所以 $$B + \frac{\pi}{6} \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right)$$，从而 $$b + c \in (1, 2]$$。
正确答案为 D。
4. 由题意 $$2b \cos A + b - c = 0$$，整理得 $$c = b (2 \cos A + 1)$$。
在锐角三角形中，$$A \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，且 $$B \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$。
利用正弦定理和余弦定理，化简 $$\frac{\sin^2 B}{\sin (A - B)}$$：
$$\frac{\sin^2 B}{\sin (A - B)} = \frac{\sin^2 B}{\sin A \cos B - \cos A \sin B}$$
进一步分析可得其取值范围为 $$\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$$。
正确答案为 C。
5. 由向量条件 $$\overrightarrow{BC}^2 = 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$，利用向量运算：
$$a^2 = 2 (b^2 + c^2 - a^2)$$，整理得 $$3a^2 = 2b^2 + 2c^2$$。
结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，可得 $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - 3a^2/2}{2bc}$$。
设 $$\frac{b}{c} = t$$，代入化简后得到 $$t \in (2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$$。
正确答案为 D。
6. 由条件 $$b^2 + c^2 = a^2 + bc$$，结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，可得 $$\cos A = \frac{1}{2}$$，即 $$A = \frac{\pi}{3}$$。
由于 $$△ABC$$ 为锐角三角形，需满足 $$B, C \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$。
利用正弦定理和面积公式 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$，结合 $$b = 2$$，可得 $$S \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3} \right)$$。
正确答案为 C。
7. 设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx$$。计算 $$S_1$$ 和 $$S_2$$ 的面积：
$$S_1$$ 为 $$l$$ 与 $$△ABC$$ 左侧的交面积，$$S_2$$ 为右侧的交面积。
通过几何分析，当 $$k = 1$$ 时，$$\frac{(1 + S_1)^2}{1 - S_2^2}$$ 取得最小值。
正确答案为 A。
8. 设半圆的半径为 $$2$$，$$P$$ 为 $$OC$$ 上的点，设 $$OP = x$$，$$0 \leq x \leq 2$$。
利用向量运算：
$$\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} \right) \cdot \overrightarrow{PC} = -2x^2 + 4x$$
求其最小值，当 $$x = 1$$ 时，最小值为 $$-2$$。
正确答案为 C。