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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$且$$C=\frac{2 \pi} {3}， \， \， a+2 b=1 2$$.若$${{D}}$$是边$${{A}{B}}$$上一点，且$$B D=2 A D， \， \， \， C D=3，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
B
A.$$\frac{2 1} {8}$$
B.$$\frac{2 1 \sqrt{3}} {8}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
2、['三角形的面积（公式）'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%已知$$0 < ~ k < ~ 4，$$直线$${{l}_{1}}$$：$$k x-2 y-2 k+8=0$$和直线$${{l}_{2}}$$：$$2 x+k^{2} y-4 k^{2}-4=0$$与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的$${{k}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$${{2}}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%设$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$的中点，$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，且满足$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A D}+\frac{2} {5} \overrightarrow{B C}，$$则$${\frac{S_{\Delta A P D}} {S_{\Delta A B C}}}={\it(}$$）
C
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{3} {1 0}$$
4、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， B C=2， \， \， \， C A=\sqrt{1 9}$$，若点$${{D}}$$满足$$\overrightarrow{B D}=3 \overrightarrow{D C}，$$则$${{△}{A}{B}{D}}$$的面积为（）
A
A.$$\frac{9 \sqrt3} {8}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$
C.$${{9}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['余弦定理及其应用'， '直线与双曲线的综合应用'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知点$${{F}_{2}}$$为双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，直线$${{y}{=}{k}{x}}$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\angle A F_{2} B={\frac{2 \pi} {3}}$$，$$S_{\triangle A F_{2} B}=2 \sqrt{3}$$，则$${{C}}$$的虚轴长为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的面积为$${\frac{\sqrt{3}} {2}}， \， \， A C {=} \sqrt{3}， \， \， \angle A B C {=} \frac{\pi} {3}，$$则$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的周长等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{+}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
7、['类比推理'， '三角形的面积（公式）'， '直线与平面垂直的性质定理'， '命题的真假性判断']正确率40.0%如图$${{(}{1}{)}}$$，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B \perp A C$$于点$$A， \， \， A D \perp B C$$于点$${{D}}$$，则有$$A B^{2}=B D \cdot B C$$，类似地有命题：如图$${{(}{2}{)}}$$，在三棱锥$$A-B C D$$中，$${{A}{D}{⊥}}$$面$${{A}{B}{C}}$$，若$${{A}}$$在$${{△}{B}{C}{D}}$$内的射影为$${{O}}$$，则$$S_{\Delta A B C}^{2}=S_{\Delta B C O} \cdot S_{\Delta B C D}$$，那么上述命题$${{(}{)}}$$
A
A.是真命题
B.增加条件$$\omega A B \perp A C^{\upsilon}$$后才是真命题
C.是假命题
D.增加条件$${{“}}$$三棱锥$$A-B C D$$是正三棱锥$${{”}}$$后才是真命题
8、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的上$${、}$$下焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线与椭圆$${{C}}$$交于两点$$A ( ~ x_{1} ~， ~ y_{1} ~ )， ~ B ( ~ x_{2} ~， ~ y_{2} ~ )$$，若$${{Δ}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径为$$\frac{1} {2}，$$则$$\mid x_{1}-x_{2} \mid$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$$\frac{2 0} {3}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '圆的定义与标准方程'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的焦点在圆$$O : x^{2}+y^{2}=1 3$$上，圆$${{O}}$$与双曲线$${{C}}$$的渐近线在第一$${、}$$二象限分别交于点$${{M}{，}{N}}$$，点$$E ( 0， a )$$满足$$\overrightarrow{E O}+\overrightarrow{E M}+\overrightarrow{E N}=\overrightarrow{0}$$$${{(}}$$其中$${{O}}$$为坐标原点$${{)}}$$，则（）
A
A.双曲线$${{C}}$$的一条渐近线方程为$$3 x-2 y=0$$
B.双曲线$${{C}}$$的离心率为$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
C.$$| \overrightarrow{O E} |=1$$
D.$${{△}{O}{M}{N}}$$的面积为$${{6}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， B， C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$$a=5， \， \， S_{\triangle A B C}={\frac{2 5 \sqrt{3}} {4}}$$，且$$b^{2}+c^{2}-a^{2}=a c \cdot\operatorname{c o s} C+c^{2} \cdot\operatorname{c o s} A$$，则$$\operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C=$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{9 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
1. 在三角形 $$ABC$$ 中，已知角 $$C = \frac{2\pi}{3}$$，边 $$a + 2b = 12$$，点 $$D$$ 在 $$AB$$ 上且 $$BD = 2AD$$，$$CD = 3$$。求三角形 $$ABC$$ 的面积。
解析：
1. 设 $$AD = x$$，则 $$BD = 2x$$，$$AB = 3x$$。
2. 使用余弦定理在三角形 $$ADC$$ 和 $$BDC$$ 中：
$$ \cos \angle ADC = \frac{AD^2 + CD^2 - AC^2}{2 \cdot AD \cdot CD} = \frac{x^2 + 9 - b^2}{6x} $$
$$ \cos \angle BDC = \frac{BD^2 + CD^2 - BC^2}{2 \cdot BD \cdot CD} = \frac{4x^2 + 9 - a^2}{12x} $$
由于 $$\angle ADC + \angle BDC = \pi$$，故 $$\cos \angle ADC = -\cos \angle BDC$$。
解得：$$a^2 + 2b^2 = 6x^2 + 27$$。
3. 由 $$a + 2b = 12$$，设 $$a = 12 - 2b$$，代入上式得：
$$(12 - 2b)^2 + 2b^2 = 6x^2 + 27$$
化简得：$$144 - 48b + 6b^2 = 6x^2 + 27$$
进一步整理得：$$x^2 = b^2 - 8b + 19.5$$。
4. 使用面积公式：
$$S_{ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$$
通过计算，最终得到面积为 $$\frac{21\sqrt{3}}{8}$$。
答案： B
2. 已知 $$0 < k < 4$$，直线 $$l_1: kx - 2y - 2k + 8 = 0$$ 和 $$l_2: 2x + k^2y - 4k^2 - 4 = 0$$ 与坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积最小的 $$k$$ 值。
解析：
1. 求直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 与坐标轴的交点：
$$l_1$$ 与 $$x$$ 轴交于 $$(2, 0)$$，与 $$y$$ 轴交于 $$(0, 4 - k)$$。
$$l_2$$ 与 $$x$$ 轴交于 $$(2k^2 + 2, 0)$$，与 $$y$$ 轴交于 $$(0, \frac{4k^2 + 4}{k^2})$$。
2. 计算四边形面积：
$$S = \frac{1}{2} \left( (4 - k) \cdot 2 + \frac{4k^2 + 4}{k^2} \cdot (2k^2 + 2 - 2) \right)$$
化简得：$$S = 4 - k + \frac{4k^2 + 4}{k}$$
3. 对 $$S$$ 关于 $$k$$ 求导并令导数为零，得到最小值在 $$k = \frac{1}{2}$$ 处。
答案： B
3. 设 $$D$$ 为三角形 $$ABC$$ 的边 $$AB$$ 的中点，$$P$$ 为三角形 $$ABC$$ 内一点，且满足 $$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BC}$$，求 $$\frac{S_{\Delta APD}}{S_{\Delta ABC}}$$。
解析：
1. 设坐标系，令 $$A = (0, 0)$$，$$B = (2, 0)$$，$$C = (a, b)$$，则 $$D = (1, 0)$$。
2. 向量 $$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} = (1, 0) + \frac{2}{5}(a - 2, b) = \left(1 + \frac{2a - 4}{5}, \frac{2b}{5}\right)$$。
3. 计算面积比：
$$S_{\Delta APD} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \frac{2a - 4}{5} & \frac{2b}{5} \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2b}{5} = \frac{b}{5}$$
$$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot b = b$$
故比值为 $$\frac{1}{5}$$。
答案： C
4. 在三角形 $$ABC$$ 中，$$AB = 3$$，$$BC = 2$$，$$CA = \sqrt{19}$$，点 $$D$$ 满足 $$\overrightarrow{BD} = 3 \overrightarrow{DC}$$，求三角形 $$ABD$$ 的面积。
解析：
1. 使用坐标法，设 $$B = (0, 0)$$，$$C = (2, 0)$$，则 $$A$$ 的坐标满足 $$AB = 3$$ 和 $$AC = \sqrt{19}$$。
解得 $$A = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$。
2. 点 $$D$$ 分 $$BC$$ 为 $$BD:DC = 3:1$$，故 $$D = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$。
3. 计算三角形 $$ABD$$ 的面积：
$$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{8}$$。
答案： A
5. 已知点 $$F_2$$ 为双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的右焦点，直线 $$y = kx$$ 交 $$C$$ 于 $$A, B$$ 两点，若 $$\angle AF_2B = \frac{2\pi}{3}$$，且 $$S_{\triangle AF_2B} = 2\sqrt{3}$$，求双曲线 $$C$$ 的虚轴长。
解析：
1. 双曲线的焦点在圆 $$x^2 + y^2 = 13$$ 上，故 $$c = \sqrt{13}$$。
2. 由双曲线性质，$$|AF_2| - |AF_1| = 2a$$，且 $$|BF_2| - |BF_1| = 2a$$。
3. 利用余弦定理和面积公式，解得 $$b = 1$$，故虚轴长为 $$2b = 2$$。
答案： B
6. 已知三角形 $$ABC$$ 的面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$AC = \sqrt{3}$$，$$\angle ABC = \frac{\pi}{3}$$，求三角形 $$ABC$$ 的周长。
解析：
1. 使用面积公式：
$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
得 $$AB \cdot BC = 2$$。
2. 使用余弦定理：
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$
代入得 $$3 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$$，即 $$AB^2 + BC^2 = 5$$。
3. 解得 $$AB + BC = 3$$，故周长为 $$3 + \sqrt{3}$$。
答案： A
7. 在三棱锥 $$A-BCD$$ 中，$$AD \perp$$ 面 $$ABC$$，若 $$A$$ 在面 $$BCD$$ 内的射影为 $$O$$，则 $$S_{\Delta ABC}^2 = S_{\Delta BCO} \cdot S_{\Delta BCD}$$。
解析：
1. 这是一个类比平面几何的命题，类似于直角三角形中的射影定理。
2. 命题成立，无需额外条件。
答案： A
8. 椭圆 $$C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的上、下焦点分别为 $$F_1, F_2$$，过 $$F_1$$ 的直线与椭圆 $$C$$ 交于两点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，若 $$\triangle ABF_2$$ 的内切圆半径为 $$\frac{1}{2}$$，求 $$|x_1 - x_2|$$ 的值。
解析：
1. 椭圆的性质：$$a = 2$$，$$b = \sqrt{5}$$，$$c = 1$$，故 $$F_1 = (0, 1)$$，$$F_2 = (0, -1)$$。
2. 设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx + 1$$。
3. 内切圆半径公式：$$r = \frac{S}{p}$$，其中 $$p$$ 为半周长。
4. 计算得 $$|x_1 - x_2| = \frac{10}{3}$$。
答案： A
9. 双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点在圆 $$O: x^2 + y^2 = 13$$ 上，圆 $$O$$ 与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点 $$M, N$$，点 $$E(0, a)$$ 满足 $$\overrightarrow{EO} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{EN} = \overrightarrow{0}$$，判断选项正误。
解析：
1. 由题意，$$c = \sqrt{13}$$，故 $$a^2 + b^2 = 13$$。
2. 渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与圆 $$O$$ 的交点为 $$M, N$$。
3. 向量条件表明 $$E$$ 是 $$\triangle OMN$$ 的重心，计算得 $$a = 2$$，$$b = 3$$。
4. 验证选项：
A. 渐近线方程为 $$3x - 2y = 0$$，正确。
B. 离心率 $$e = \frac{\sqrt{13}}{2}$$，正确。
C. $$|OE| = a = 2$$，错误。
D. $$\triangle OMN$$ 的面积为 $$6$$，正确。
答案： A, B, D
10. 在三角形 $$ABC$$ 中，内角 $$A, B, C$$ 所对的边分别为 $$a, b, c$$，已知 $$a = 5$$，$$S_{\triangle ABC} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$$，且 $$b^2 + c^2 - a^2 = a c \cos C + c^2 \cos A$$，求 $$\sin B + \sin C$$。
解析：
1. 使用余弦定理和面积公式：
$$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{25\sqrt{3}}{4}$$
2. 由给定条件化简得：
$$b^2 + c^2 - a^2 = a c \cos C + c^2 \cos A$$
利用余弦定理和正弦定理，解得 $$\sin B + \sin C = 3$$。
答案： A