三角形解的个数问题-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶选择题自测题答案-西藏自治区等高二数学必修,平均正确率50.0%

1、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%若$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$. ~ B C=x， ~ ~ A C=\sqrt{3}， ~ ~ A=\frac{\pi} {4}，$$若该三角形有两个解，则$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$( \sqrt{3}， \ 6 )$$

B.$$( 2， ~ 2 \sqrt{3} )$$

C.$$[ \frac{\sqrt6} 2， ~ \sqrt3 \ )$$

D.$$\left( \frac{\sqrt{6}} {2}， ~ \sqrt{3} \right)$$

2、['等差中项'， '正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$，角$$A， ~ B， ~ C$$成等差数列，$$a=6， ~ b=4 \sqrt{2}$$，则此三角形解的情况是（）

A.一解

B.两解

C.无解

D.不能确定

3、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=4， b=4 \sqrt{2}， \， \， \， A=3 0^{\circ}$$，则三角形的解的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.不确定

4、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$b=1 7， \， \， \， c=2 4， \， \， \， B=4 5^{\circ}$$，则此三角形解的情况是（）

A.一解

B.两解

C.一解或两解

D.无解

5、['三角形解的个数问题']

正确率40.0%如果满足条件$$B=6 0^{\circ} \，， \， \， \， b=1 2$$的$${{△}{A}{B}{C}}$$有两个解，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$0 < a \leqslant1 2$$

B.$$1 2 < a < 8 \sqrt3$$

C.$$0 < a \leqslant1 2$$或$${{a}{=}{8}{\sqrt {3}}}$$

D.$$1 2 < a \leq8 \sqrt{3}$$

6、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%如果满足 $\text{[math]}$ 的三角形$${{A}{B}{C}}$$有两个，那么实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 2 \sqrt{3}， 4 \sqrt{3} ]$$

B.$$( 4 \sqrt{3}， 8 )$$

C.$$( 4， 8 )$$

D.$$[ 4 \sqrt{3}， 6 )$$

7、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%有分别满足下列条件的两个三角形：$$\oplus\， \angle B=3 0^{\circ}， \， \， \， a=1 4， \， \， b=7 \oplus\， \angle B=6 0^{\circ}， \， \， \， a=1 0， \， \， b=9$$，那么下列判断正确的是（）

A.$${①{②}}$$都只有一解

B.$${①{②}}$$都有两解

C.$${①}$$两解，$${②}$$一解

D.$${①}$$一解，$${②}$$两解

8、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=x， \， \， b=2， \， \， \， B=\frac{\pi} {4}$$，若三角形有两解，则$${{x}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 2，+\infty)$$

B.$$( 0， 2 )$$

C.$$( 2， 2 \sqrt{2} )$$

D.$$( 2， 2 \sqrt{3} )$$

9、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$b=4 0， \， \， \， c=2 0， \， \， \， C=6 0^{\circ}$$，则此三角形的解的情况是$${{(}{)}}$$

A.有一解

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

10、['余弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=1 2， \， \， b=1 3， \， \， \， C=6 0^{\circ}$$，此三角形的解的情况是$${{(}{)}}$$

A.无解

B.一解

C.二解

D.不能确定

1. 在三角形 $$△ABC$$ 中，已知 $$BC = x$$，$$AC = \sqrt{3}$$，$$A = \frac{\pi}{4}$$。要使三角形有两个解，需满足正弦定理的条件：

$$ \frac{x}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} $$

由于 $$\sin B$$ 必须满足 $$0 < \sin B < 1$$ 且 $$B$$ 有两个可能的值（一个锐角和一个钝角），因此：

$$ \sin B = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin \frac{\pi}{4}}{x} = \frac{\sqrt{6}}{2x} $$

要求 $$0 < \frac{\sqrt{6}}{2x} < 1$$，解得：

$$ x > \frac{\sqrt{6}}{2} $$

同时，为了保证 $$B$$ 存在钝角解，还需满足：

$$ x < \sqrt{3} $$

综上，$$x$$ 的取值范围是 $$\left( \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{3} \right)$$，答案为 D。

2. 在三角形 $$△ABC$$ 中，角 $$A, B, C$$ 成等差数列，设 $$B = 60^\circ$$。已知 $$a = 6$$，$$b = 4\sqrt{2}$$，利用正弦定理：

$$ \frac{6}{\sin A} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} $$

解得：

$$ \sin A = \frac{6 \cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0.918 $$

由于 $$\sin A < 1$$ 且 $$A$$ 可能为锐角或钝角，但 $$A + C = 120^\circ$$，因此只有一解，答案为 A。

3. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$a = 4$$，$$b = 4\sqrt{2}$$，$$A = 30^\circ$$，利用正弦定理：

$$ \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin B} $$

解得：

$$ \sin B = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

因此 $$B = 45^\circ$$ 或 $$135^\circ$$。但 $$135^\circ + 30^\circ = 165^\circ < 180^\circ$$，所以有两解，答案为 C。

4. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$b = 17$$，$$c = 24$$，$$B = 45^\circ$$，利用正弦定理：

$$ \frac{17}{\sin 45^\circ} = \frac{24}{\sin C} $$

解得：

$$ \sin C = \frac{24 \cdot \sin 45^\circ}{17} \approx 0.998 $$

由于 $$\sin C < 1$$，且 $$C$$ 可能为锐角或钝角，但 $$c > b$$，因此只有一解，答案为 A。

5. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$B = 60^\circ$$，$$b = 12$$，若三角形有两个解，需满足：

$$ b < a \cdot \sin B < b \cdot \csc B $$

即：

$$ 12 < a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$

解得：

$$ \frac{24}{\sqrt{3}} > a > \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} $$

即 $$8\sqrt{3} > a > 12$$，答案为 B。

6. 题目描述不完整，无法解析。

7. 对于条件①：$$\angle B = 30^\circ$$，$$a = 14$$，$$b = 7$$，利用正弦定理：

$$ \frac{14}{\sin A} = \frac{7}{\sin 30^\circ} $$

解得：

$$ \sin A = 1 $$

因此只有一解。对于条件②：$$\angle B = 60^\circ$$，$$a = 10$$，$$b = 9$$，利用正弦定理：

$$ \frac{10}{\sin A} = \frac{9}{\sin 60^\circ} $$

解得：

$$ \sin A \approx 0.962 $$

因此可能有两解，答案为 D。

8. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$a = x$$，$$b = 2$$，$$B = \frac{\pi}{4}$$，若三角形有两解，需满足：

$$ b < a \cdot \sin B < b \cdot \csc B $$

即：

$$ 2 < x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 2 \cdot \sqrt{2} $$

解得：

$$ 2\sqrt{2} > x > 2 $$

答案为 C。

9. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$b = 40$$，$$c = 20$$，$$C = 60^\circ$$，利用正弦定理：

$$ \frac{40}{\sin B} = \frac{20}{\sin 60^\circ} $$

解得：

$$ \sin B = \frac{40 \cdot \sin 60^\circ}{20} = \sqrt{3} $$

由于 $$\sin B > 1$$，无解，答案为 C。

10. 在三角形 $$△ABC$$ 中，$$a = 12$$，$$b = 13$$，$$C = 60^\circ$$，直接利用余弦定理可确定唯一解，答案为 B。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}