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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{S}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积，且$$S=\frac{1} {2} ( b^{2}+c^{2}-a^{2} )$$，则$${{t}{a}{n}{B}{+}{{t}{a}{n}}{C}{−}{2}{{t}{a}{n}}{B}{{t}{a}{n}}{C}{=}}$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
2、['三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{D}{⊥}{B}{C}}$$交$${{B}{D}}$$于$${{D}{，}{∠}{B}{A}{C}{=}{{4}{5}^{∘}}{，}{B}{D}{=}{2}{，}{C}{D}{=}{3}}$$.则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
D
A.$$\frac{2 5 ( \sqrt{2}+1 )} {4}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$$\frac{1 5} {2}$$
D.$${{1}{5}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$分别是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边，$${{a}{{s}{i}{n}}{B}{=}{\sqrt {3}}{b}{{c}{o}{s}}{A}}$$，当$${{b}{+}{c}{=}{4}}$$时，$${{△}{{A}{B}{C}}}$$面积的最大值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '同角三角函数的商数关系'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{S}}$$，且$${{2}{S}{=}{{(}{{a}{+}{b}}{)}^{2}}{−}{{c}^{2}}}$$，则$${{t}{a}{n}{C}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
5、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {1 3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$椭圆上任意一点$${（{P}}$$点不与左右顶点重合），则$${{△}{{F}_{2}}{P}}$$$${{F}_{1}}$$的最大面积是（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}}$$
6、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，且$${{F}_{2}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{{2}{4}}{x}}$$的焦点，设点$${{P}}$$为两曲线的一个公共点，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{3}{6}{\sqrt {6}}}$$，则双曲线的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {2 7}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 7}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
7、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对应的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$.若$$a=5， \ b+c=9， \ \operatorname{c o s} A=\frac{3} {4}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知抛物线$${{x}^{2}{=}{8}{y}}$$的焦点为$${{F}}$$，点$${{P}}$$在抛物线上，且$${{|}{P}{F}{|}{=}{6}}$$，点$${{Q}}$$为抛物线准线与其对称轴的交点，则$${{△}{P}{F}{Q}}$$的面积为（）
D
A.$${{2}{0}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{6}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$，分别为内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边，若$$A=\frac{2 \pi} {3}， a=2 \sqrt{1 0}$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$$S=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}} {1 2}$$，则$${{c}{=}}$$（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
1. 解析：
已知面积公式 $$S = \frac{1}{2} (b^2 + c^2 - a^2)$$，结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，代入得：
$$S = \frac{1}{2} (2bc \cos A) = bc \cos A$$
又面积公式 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$，联立得：
$$\tan A = 1 \Rightarrow A = 45^\circ$$
利用正切和角公式：
$$\tan(B + C) = \tan(135^\circ) = -1 = \frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C}$$
整理得：
$$\tan B + \tan C + \tan B \tan C = -1$$
题目要求计算 $$\tan B + \tan C - 2 \tan B \tan C$$，设 $$x = \tan B + \tan C$$，$$y = \tan B \tan C$$，则：
$$x + y = -1$$
所求表达式为 $$x - 2y$$，解得 $$x - 2y = -2$$。
答案为 $$D$$。
2. 解析：
设 $$AD = h$$，在直角三角形 $$ABD$$ 和 $$ACD$$ 中：
$$\tan \angle BAD = \frac{2}{h}, \tan \angle CAD = \frac{3}{h}$$
由 $$\angle BAC = 45^\circ$$，得：
$$\tan(\angle BAD + \angle CAD) = \tan 45^\circ = 1$$
代入正切和角公式：
$$\frac{\frac{2}{h} + \frac{3}{h}}{1 - \frac{6}{h^2}} = 1 \Rightarrow \frac{5}{h} = 1 - \frac{6}{h^2}$$
整理得 $$h^2 - 5h - 6 = 0$$，解得 $$h = 6$$（舍去负值）。
面积为 $$\frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15$$。
答案为 $$C$$。
3. 解析：
由正弦定理和已知条件 $$a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$$，得：
$$\sin A \sin B = \sqrt{3} \sin B \cos A \Rightarrow \tan A = \sqrt{3} \Rightarrow A = 60^\circ$$
利用余弦定理和面积公式：
$$a^2 = b^2 + c^2 - bc$$
由 $$b + c = 4$$，设 $$b = 2 + t$$，$$c = 2 - t$$，代入得：
$$a^2 = (2 + t)^2 + (2 - t)^2 - (2 + t)(2 - t) = 12 - t^2$$
面积为 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 - t^2)$$
当 $$t = 0$$ 时，面积最大为 $$\sqrt{3}$$。
答案为 $$C$$。
4. 解析：
已知 $$2S = (a + b)^2 - c^2$$，展开得：
$$2S = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab$$
结合面积公式 $$S = \frac{1}{2} ab \sin C$$ 和余弦定理 $$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$$，代入得：
$$ab \sin C = 2ab \cos C + 2ab$$
化简得：
$$\sin C - 2 \cos C = 2$$
利用辅助角公式：
$$\sqrt{5} \sin(C - \alpha) = 2$$，其中 $$\tan \alpha = 2$$
解得 $$\tan C = -\frac{4}{3}$$。
答案为 $$C$$。
5. 解析：
椭圆 $$E$$ 的半长轴 $$a = \sqrt{13}$$，半短轴 $$b = 2$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 3$$。
焦点 $$F_1 = (-3, 0)$$，$$F_2 = (3, 0)$$。
三角形 $$F_2 P F_1$$ 的面积为：
$$S = \frac{1}{2} \times |F_1 F_2| \times y_P = 3 |y_P|$$
当 $$P$$ 为短轴端点时，$$|y_P| = 2$$，面积最大为 $$6$$。
答案为 $$C$$。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 24x$$ 的焦点为 $$F_2 = (6, 0)$$，故双曲线的 $$c = 6$$。
设 $$P$$ 为公共点，由抛物线定义 $$|P F_2| = x_P + 6$$，双曲线定义 $$|P F_1| - |P F_2| = 2a$$，联立得：
$$|P F_1| = 2a + x_P + 6$$
三角形面积为 $$\frac{1}{2} \times 12 \times y_P = 36 \sqrt{6} \Rightarrow y_P = 6 \sqrt{6}$$
代入抛物线方程得 $$x_P = 9$$，代入双曲线方程：
$$\frac{81}{a^2} - \frac{216}{b^2} = 1$$
结合 $$a^2 + b^2 = 36$$，解得 $$a^2 = 9$$，$$b^2 = 27$$。
答案为 $$A$$。
7. 解析：
由余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，代入 $$a = 5$$，$$\cos A = \frac{3}{4}$$，$$b + c = 9$$，得：
$$25 = (b + c)^2 - 2bc - \frac{3}{2} bc \Rightarrow 25 = 81 - \frac{7}{2} bc$$
解得 $$bc = 16$$。
面积为 $$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2 \sqrt{7}$$。
答案为 $$A$$。
8. 解析：
抛物线 $$x^2 = 8y$$ 的焦点 $$F = (0, 2)$$，准线 $$y = -2$$，点 $$Q = (0, -2)$$。
设 $$P = (x, y)$$，由 $$|P F| = 6$$ 得：
$$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 \Rightarrow x^2 + (y - 2)^2 = 36$$
代入抛物线方程 $$x^2 = 8y$$，解得 $$y = 4$$，$$x = \pm 4 \sqrt{2}$$。
面积为 $$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$$。
答案为 $$D$$。
10. 解析：
由面积公式 $$S = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{12}$$，结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，代入 $$A = \frac{2\pi}{3}$$，$$a = 2 \sqrt{10}$$，得：
$$40 = b^2 + c^2 + bc$$
面积为 $$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{\sqrt{3}}{4} bc$$，联立得：
$$\frac{\sqrt{3}}{4} bc = \frac{40 - bc}{12} \Rightarrow bc = 8$$
代入余弦定理解得 $$c = 4 \sqrt{3}$$。
答案为 $$B$$。