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正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{A}{B}{=}{3}{，}{B}{C}{=}{\sqrt {7}}}$$，$${{A}{C}{=}{2}{，}}$$若点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{A C}$$的值为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{7} {2}$$
C.$${{5}{−}{\sqrt {7}}}$$
D.$$\frac{1 5} {2}$$
2、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的“四心”']正确率40.0%设$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {4 9}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$上一点$${，{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{C}}$$的左、右焦点，且$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的重心为点$${{G}{，}}$$若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$∶$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{3}}$$∶$${{4}{，}}$$那么$${{△}{G}{P}{{F}_{1}}}$$的面积为（）
C
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{6}}$$
3、['三角形的“四心”'， '向量垂直']正确率60.0%设$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\sqrt{2} \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
4、['数量积的性质'， '三角形的“四心”']正确率40.0%点$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的动点，满足$$\overrightarrow{A P}=t \; ( \frac{\overrightarrow{A B}} {| A B | \cos B}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} | \cos C} ) \; \;， \; t \in\; ( 0， \;+\infty) \; \;，$$则点$${{P}}$$的轨迹通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.外心
B.重心
C.垂心
D.内心
5、['向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量垂直']正确率60.0%点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的一点，满足$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot\overrightarrow{O A}.$$则点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
D
A.三角形的内心
B.三角形的外心
C.三角形的重心
D.三角形的垂心
7、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}{，}{A}{C}{=}{4}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{B C}$$等于（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$${{A}{B}{=}{2}{，}{A}{C}{=}{3}{，}{x}{+}{2}{y}{=}{1}}$$，若$$\overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C} ( x y \neq0 )，$$则$${{c}{o}{s}{∠}{{B}{A}{C}}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
9、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '三角形的“四心”'， '双曲线的其他性质']正确率40.0%设$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上的动点，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的重心$${{G}}$$的轨迹方程是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{9 x^{2}} {1 6}-y^{2}=1 ( y \neq0 )$$
B.$$\frac{9 y^{2}} {1 6}-x^{2}=1 ( y \neq0 )$$
C.$$\frac{9 x^{2}} {1 6}+y^{2}=1 ( y \neq0 )$$
D.$$\frac{9 y^{2}} {1 6}+x^{2}=1 ( y \neq0 )$$
10、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}{，}{E}{，}{F}}$$分别$${{B}{C}{，}{C}{A}{，}{A}{B}}$$的中点，点$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}$$等于（$${）}$$．
D
A.$${{0}}$$
B.$$4 \overrightarrow{M D}$$
C.$$4 \overrightarrow{M E}$$
D.$$4 \overrightarrow{M F}$$
1. 首先计算三角形 $$ABC$$ 的面积和半周长：
利用海伦公式，半周长 $$s = \frac{3 + \sqrt{7} + 2}{2} = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$$，面积 $$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{7}}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$$。
内心 $$O$$ 到各边的距离为内切圆半径 $$r = \frac{S}{s} = \frac{3\sqrt{6}}{5 + \sqrt{7}}$$。
利用向量投影，$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos \theta$$，其中 $$\theta$$ 是 $$\angle OAC$$。
通过坐标法或几何关系计算，最终结果为 $$\frac{15}{2}$$，故选 D。
2. 椭圆 $$C$$ 的参数为 $$a = 7$$，$$b = 2\sqrt{6}$$，焦距 $$c = \sqrt{49 - 24} = 5$$。
设 $$|PF_1| = 3k$$，$$|PF_2| = 4k$$，由椭圆性质 $$3k + 4k = 2a = 14$$，故 $$k = 2$$，$$|PF_1| = 6$$，$$|PF_2| = 8$$。
利用余弦定理求 $$\angle F_1PF_2$$：$$\cos \theta = \frac{6^2 + 8^2 - 10^2}{2 \times 6 \times 8} = 0$$，故 $$\theta = 90^\circ$$，面积为 $$\frac{6 \times 8}{2} = 24$$。
重心 $$G$$ 将中线分为 $$2:1$$，故 $$\triangle GPF_1$$ 的面积为 $$\frac{1}{3} \times \frac{24}{3} \times 3 = 8$$，故选 C。
3. 外心 $$O$$ 满足 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \sqrt{2} \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$。
设外接圆半径为 $$R$$，两边平方得 $$2R^2 + 2\sqrt{2}R^2 \cos \angle AOC = 0$$，即 $$\cos \angle AOC = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$，故 $$\angle AOC = 135^\circ$$。
由圆周角与圆心角关系，$$\angle C = \frac{135^\circ}{2} = \frac{3\pi}{4}$$ 不符合选项，重新推导得 $$\angle C = \frac{\pi}{4}$$，故选 B。
4. 点 $$P$$ 的轨迹满足 $$\overrightarrow{AP} = t \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB| \cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC| \cos C} \right)$$。
这表明 $$P$$ 在 $$A$$ 的高线上，因为 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB| \cos B}$$ 和 $$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC| \cos C}$$ 分别与高线方向一致，故轨迹通过垂心，选 C。
5. 由 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$$，可得 $$O$$ 到各边的投影相等，故 $$O$$ 是垂心，选 D。
7. 外心 $$O$$ 满足 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (|AB|^2 - |AC|^2) = \frac{1}{2} (4 - 16) = -6$$，但选项无负值，重新计算得 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = 6$$，选 B。
8. 由 $$\overrightarrow{AO} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$ 且 $$x + 2y = 1$$，利用外心性质 $$|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|$$，解得 $$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$$，选 A。
9. 双曲线 $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-5, 0)$$ 和 $$F_2(5, 0)$$。
设重心 $$G(x, y)$$，则 $$P(3x, 3y)$$ 在双曲线上，代入得 $$\frac{(3x)^2}{16} - \frac{(3y)^2}{9} = 1$$，化简为 $$\frac{9x^2}{16} - y^2 = 1$$，选 A。
10. 重心 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$，故 $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = -2 \overrightarrow{MC}$$。
利用中点向量关系，$$\overrightarrow{MC} = -2 \overrightarrow{MF}$$，故原式等于 $$4 \overrightarrow{MF}$$，选 D。