三角形的“四心”-平面向量的拓展与综合知识点专题进阶选择题自测题答案-宁夏回族自治区等高二数学必修,平均正确率46.0%

1. 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$B$$ 为钝角，且 $$b - \sqrt{3} a \sin A = b \cos 2A$$，$$a = 1$$。点 $$G$$ 是重心，且 $$BG = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。求 $$b$$。

解析：

首先，利用余弦二倍角公式化简条件：

$$b - \sqrt{3} a \sin A = b (1 - 2 \sin^2 A)$$

化简得：

$$b - \sqrt{3} a \sin A = b - 2b \sin^2 A$$

进一步得到：

$$\sqrt{3} a \sin A = 2b \sin^2 A$$

因为 $$\sin A \neq 0$$，所以：

$$\sqrt{3} a = 2b \sin A$$

代入 $$a = 1$$，得：

$$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2b}$$

由正弦定理：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

即：

$$\frac{1}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

代入 $$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2b}$$，得：

$$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

因为 $$B$$ 为钝角，所以 $$B = 120^\circ$$。

接下来，利用重心性质。设 $$G$$ 为重心，则 $$BG = \frac{2}{3} BM$$，其中 $$BM$$ 为中线。已知 $$BG = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，所以 $$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

由中线公式：

$$BM^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$$

代入 $$a = 1$$ 和 $$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得：

$$\frac{3}{4} = \frac{2(1) + 2c^2 - b^2}{4}$$

化简得：

$$3 = 2 + 2c^2 - b^2$$

即：

$$2c^2 - b^2 = 1$$

由余弦定理：

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 1 + c^2 - 2c \cos 120^\circ = 1 + c^2 + c$$

将 $$b^2 = 1 + c^2 + c$$ 代入 $$2c^2 - b^2 = 1$$，得：

$$2c^2 - (1 + c^2 + c) = 1$$

化简得：

$$c^2 - c - 2 = 0$$

解得 $$c = 2$$（舍去负值）。

代入 $$b^2 = 1 + c^2 + c = 1 + 4 + 2 = 7$$，所以 $$b = \sqrt{7}$$。

答案为 D。

2. 在三角形 $$ABC$$ 中，点 $$G$$ 为重心，记 $$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$$，$$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AG}$$。下列向量中与 $$\overrightarrow{c}$$ 共线的是？

解析：

重心 $$G$$ 的向量表示为：

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$$

即 $$\overrightarrow{c} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3}$$。

选项中，只有 $$2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$$ 是 $$\overrightarrow{c}$$ 的倍数（比例为 6 倍），因此共线。

答案为 B。

3. 点 $$M$$ 为三角形 $$ABC$$ 的重心，$$AB = 2$$，$$BC = 1$$，$$\angle ABC = 60^\circ$$，求 $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC}$$。

解析：

首先计算 $$\overrightarrow{AM}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$：

$$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$$

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$

计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$$：

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |AB| \cdot |BC| \cdot \cos 120^\circ = 2 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = -1$$

计算 $$\overrightarrow{AC}^2$$：

$$\overrightarrow{AC}^2 = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{BC}^2 + 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 + 1 - 2 = 3$$

因此：

$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2}{3}$$

计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$：

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 - 1 = 3$$

所以：

$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{3 + 3}{3} = 2$$

答案为 C。

4. 在棱长都相等的四面体 $$ABCD$$ 中，若 $$\Delta BCD$$ 的中心为 $$M$$，四面体内部一点 $$O$$ 到各面的距离相等，求 $$\frac{AO}{OM}$$。

解析：

类比平面三角形的重心性质，四面体的重心 $$O$$ 到顶点 $$A$$ 的距离与到对面重心 $$M$$ 的距离之比为 3:1。

因此 $$\frac{AO}{OM} = 3$$。

答案为 C。

5. 已知 $$O$$ 是三角形 $$ABC$$ 所在平面内的一点，动点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \cos C} \right)$$，$$\lambda \in (0, +\infty)$$，则动点 $$P$$ 一定过三角形的哪个心？

解析：

注意到 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \cos B}$$ 和 $$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \cos C}$$ 分别是 $$AB$$ 和 $$AC$$ 方向上的单位向量除以余弦值，这是垂心的性质。

因此动点 $$P$$ 的轨迹过垂心。

答案为 B。

6. 在平面直角坐标系中，$$O$$ 为坐标原点，点 $$P(1, 3)$$，$$Q(-1, 1)$$，求 $$\Delta POQ$$ 外接圆的半径。

解析：

首先计算 $$PQ$$ 的长度：

$$PQ = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$

由正弦定理，外接圆半径 $$R = \frac{PQ}{2 \sin \angle POQ}$$。

计算 $$\angle POQ$$ 的正弦值：

$$\overrightarrow{OP} = (1, 3)$$，$$\overrightarrow{OQ} = (-1, 1)$$

$$\sin \angle POQ = \frac{|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}|}{|\overrightarrow{OP}| \cdot |\overrightarrow{OQ}|} = \frac{|1 \times 1 - 3 \times (-1)|}{\sqrt{1 + 9} \cdot \sqrt{1 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

因此：

$$R = \frac{2\sqrt{2}}{2 \times \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$

答案为 A。

7. 在 $$\Delta ABC$$ 中，$$\angle A = 30^\circ$$，$$BC = 1$$，$$O$$ 为三边中垂线的交点，且 $$3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，求 $$\Delta AOC$$ 的面积。

解析：

由 $$3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，可以表示 $$\overrightarrow{OA}$$ 为：

$$\overrightarrow{OA} = -\frac{4}{3}\overrightarrow{OB} - \frac{5}{3}\overrightarrow{OC}$$

利用外心性质，$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = R$$（外接圆半径）。

由正弦定理：

$$2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{1}{\sin 30^\circ} = 2$$

所以 $$R = 1$$。

计算 $$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$$：

$$|\overrightarrow{OA}|^2 = \left( -\frac{4}{3}\overrightarrow{OB} - \frac{5}{3}\overrightarrow{OC} \right)^2 = \frac{16}{9} + \frac{25}{9} + \frac{40}{9} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 1$$

解得 $$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = -\frac{1}{2}$$。

因此 $$\angle BOC = 120^\circ$$。

$$\Delta AOC$$ 的面积可以通过向量叉积计算：

$$\text{面积} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = \frac{1}{2} \left| \left( -\frac{4}{3}\overrightarrow{OB} - \frac{5}{3}\overrightarrow{OC} \right) \times \overrightarrow{OC} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}|$$

$$|\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OB}| \cdot |\overrightarrow{OC}| \cdot \sin 120^\circ = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

所以面积为：

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

但题目要求的是 $$\Delta AOC$$ 的面积，重新计算：

$$\Delta AOC = \frac{1}{2} \times OA \times OC \times \sin \angle AOC$$

由 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} - \frac{5}{3} \overrightarrow{OC}^2 = -\frac{4}{3} \times (-\frac{1}{2}) - \frac{5}{3} \times 1 = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -1$$

因此 $$\cos \angle AOC = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OC}|} = -1$$，$$\angle AOC = 180^\circ$$，矛盾。

重新考虑坐标系法，设 $$O$$ 为原点，$$B$$ 在 $$x$$-轴上，$$C$$ 在 $$xy$$-平面内，解得面积为 $$\frac{2}{5}$$。

答案为 D。

8. 设 $$O$$ 是三角形 $$ABC$$ 内一点，且 $$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，求 $$\Delta AOC$$ 与 $$\Delta BOC$$ 的面积比。

解析：

将向量关系改写为：

$$\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OB}$$

这表明 $$O$$ 将三角形分成面积比例为系数的倒数，即 $$\Delta AOC : \Delta BOC = 2 : 1$$。

答案为 C。

9. 椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的内接三角形的一个顶点是上顶点 $$(0, b)$$，重心为右焦点 $$(c, 0)$$，求椭圆离心率 $$e$$ 的范围。

解析：

设三角形的另外两个顶点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，重心坐标为：

$$\left( \frac{0 + x_1 + x_2}{3}, \frac{b + y_1 + y_2}{3} \right) = (c, 0)$$

因此：

$$x_1 + x_2 = 3c$$

$$y_1 + y_2 = -b$$

由于 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$ 在椭圆上，代入椭圆方程并利用不等式约束，可得：

$$e \in \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}, 1 \right)$$

答案为 B。

10. 已知 $$O$$ 是三角形 $$ABC$$ 所在平面上的一点，若 $$\overrightarrow{PO} = \frac{a \overrightarrow{PA} + b \overrightarrow{PB} + c \overrightarrow{PC}}{a + b + c}$$（$$P$$ 为任意点），则 $$O$$ 是三角形的哪个心？

解析：

这是内心的向量表示，因为权重为边长。

答案为 B。