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正确率19.999999999999996%已知在等边$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{3}{，}{O}}$$为中心，过$${{O}}$$的直线与$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的边分别交于点$${{M}{、}{N}}$$，则$$\frac{1} {O M}+\frac{1} {O N}$$的最大值是
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
2、['三角形的“四心”']正确率60.0%已知点$${{M}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面上一点，$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}={\bf0}，$$若存在实数$${{m}}$$使得$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=m \overrightarrow{A M}，$$则$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}{，}{A}{C}{=}{4}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{B C}$$等于（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '空间向量基本定理的应用'， '三角形的“四心”'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%设$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，记$$\overrightarrow{B C}=a， \， \， \， \overrightarrow{C A}=b， \， \， \， \overrightarrow{A B}=c，$$且$${{a}{+}{b}{+}{c}{=}{0}}$$，则$$\overrightarrow{A M}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$\frac{b-c} {2}$$
B.$$\frac{c-b} {2}$$
C.$$\frac{b-c} {3}$$
D.$$\frac{c-b} {3}$$
6、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '三角形的“四心”'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知实轴长为$${{2}{\sqrt {2}}}$$的双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{（}{−}{2}{，}{0}{）}{，}{{F}_{2}}{（}{2}{，}{0}{）}}$$，点$${{B}}$$为双曲线$${{C}}$$虚轴上的一个端点，则$${{△}{B}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的重心到双曲线$${{C}}$$的渐近线的距离为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '直线与椭圆的综合应用'， '三角形的“四心”']正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$上三个不同的点，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
C
A.$$\frac{3 \sqrt{3}} {8}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{6}} {4}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{6}} {2}$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内部一点，并且满足$$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}， \， \， \triangle B O C$$的面积为$${{S}_{1}{，}{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{1}} {S_{2}}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的“四心”']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {8}=1$$的焦点为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}{，}{P}}$$为椭圆上任意一点，$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心为$${{I}}$$，过$${{I}}$$作平行于$${{x}}$$轴的直线交$${{P}{{F}_{1}}{、}{P}{{F}_{2}}}$$于$${{A}{、}{B}}$$，则$$\frac{S_{\Delta P A B}} {S_{\Delta P F_{1} F_{2}}}=\langle$$）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{9} {2 5}$$
D.$$\frac{9} {1 6}$$
10、['向量加法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A P}=\lambda\left( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} \right)$$，直线$${{A}{P}}$$必过（）
A
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
1. 解析：
在等边三角形 $$ΔABC$$ 中，设边长为 $$3$$，中心为 $$O$$。设直线 $$MN$$ 与边 $$AB$$ 和 $$AC$$ 分别交于点 $$M$$ 和 $$N$$。利用对称性和参数化方法，可以推导出 $$\frac{1}{OM} + \frac{1}{ON}$$ 的最大值为 $$2$$，对应选项 B。
2. 解析：
由题意，点 $$M$$ 是 $$△ABC$$ 的重心，因此 $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \mathbf{0}$$。题目给出 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = m \overrightarrow{AM}$$。利用重心性质，$$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$，化简得 $$m = 3$$，对应选项 B。
4. 解析：
设 $$O$$ 为 $$△ABC$$ 的外心，利用外心的向量性质，$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (|AB|^2 - |AC|^2)$$。代入 $$AB = 2$$ 和 $$AC = 4$$，得到结果为 $$-6$$，但题目选项均为正数，重新推导发现应为 $$6$$，对应选项 B。
5. 解析：
$$M$$ 是 $$△ABC$$ 的重心，因此 $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。由 $$a + b + c = 0$$，即 $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = 0$$，代入得 $$\overrightarrow{AM} = \frac{c - b}{3}$$，对应选项 D。
6. 解析：
双曲线的实轴长为 $$2\sqrt{2}$$，故 $$a = \sqrt{2}$$。焦点为 $$F_1(-2, 0)$$ 和 $$F_2(2, 0)$$，因此 $$c = 2$$，$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{2}$$。设虚轴端点 $$B(0, b)$$，则重心坐标为 $$(0, \frac{b}{3})$$。渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，距离为 $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$，对应选项 B。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}$$，知 $$O$$ 是 $$△ABC$$ 的重心。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，$$C(-x_1 - x_2, -y_1 - y_2)$$。代入椭圆方程，化简后得到面积为 $$\frac{3\sqrt{6}}{4}$$，对应选项 C。
8. 解析：
由 $$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = \mathbf{0}$$，利用向量分割法，可得面积比 $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{6}$$，对应选项 A。
9. 解析：
椭圆的半长轴 $$a = 3$$，半短轴 $$b = 2\sqrt{2}$$，焦距 $$c = 1$$。利用内心性质和相似三角形，面积比为 $$\frac{9}{25}$$，对应选项 C。
10. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AP}$$ 沿 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ 方向，这是角平分线的方向，因此直线 $$AP$$ 必过内心，对应选项 A。