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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$2 \mathrm{s i n} \frac{B} {2} \mathrm{c o s} \frac{B} {2} \mathrm{s i n} C=\mathrm{c o s}^{2} \frac{A} {2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是（）
B
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.非等腰三角形
D.直角三角形
2、['正弦定理及其应用'， '利用诱导公式化简'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a \mathrm{c o s} \， A=b \mathrm{c o s} B$$，此三角形形状为（）
D
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰或直角三角形
3、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B=2 A， \， \， \， a=1， \， \， \， b=\frac{4} {3}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
C
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
4、['判断三角形的形状'， '三角形的面积（公式）'， '特殊角的三角函数值'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是$$S={\frac{1} {4}} ( b^{2}+c^{2} )$$（其中$${{b}}$$，$${{c}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边长），则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为（）
D
A.等边三角形
B.是直角三角形但不是等腰三角形
C.是等腰三角形但不是直角三角形
D.等腰直角三角形
5、['判断三角形的形状'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若
则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
A
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
6、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式'， '两个向量数量积的几何意义']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} < 0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为
C
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
7、['余弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=a， \， \， \， C A=b， \， \， \， A B=c$$，下列说法中正确的是（）
B
A.用$$\sqrt{a}， ~ \sqrt{b}， ~ \sqrt{c}$$为边长不可以作成一个三角形
B.用$$\sqrt{a}， ~ \sqrt{b}， ~ \sqrt{c}$$为边长一定可以作成一个锐角三角形
C.用$$\sqrt{a}， ~ \sqrt{b}， ~ \sqrt{c}$$为边长一定可以作成一个直角三角形
D.用$$\sqrt{a}， ~ \sqrt{b}， ~ \sqrt{c}$$为边长一定可以作成一个钝角三角形
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '三角形解的个数问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$是角$$A， ~ B， ~ C$$的三边，给出下列结论：
$${①}$$若$$A > B > C$$，则$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{s i n} B > \operatorname{s i n} C$$
$${②}$$若$${\frac{\operatorname{s i n} A} {a}}={\frac{\operatorname{c o s} B} {b}}={\frac{\operatorname{c o s} C} {c}}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形
$${③}$$若$$a=4 0， \， \， b=2 0， \， \， \， B=2 5^{\circ}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$必有两解
$$\oplus\ 2 a \overrightarrow{B C}+b \overrightarrow{C A}+c \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的最小角小于$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
其中，正确结论的编号为（）
C
A.$${③{④}}$$
B.$${①{②}{③}}$$
C.$${①{③}{④}}$$
D.$${①{④}}$$
9、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${\frac{\operatorname{s i n} A} {a}}={\frac{\operatorname{c o s} B} {b}}={\frac{\operatorname{c o s} C} {c}}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$．
C
A.正三角形
B.有一内角为$${{3}{0}^{∘}}$$的等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.有一内角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直角三角形
正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$a=2 b \operatorname{c o s} C$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
B
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
1. 解析：
利用二倍角公式 $$2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} = \sin B$$，原式化为 $$\sin B \sin C = \cos^2 \frac{A}{2}$$。
由半角公式 $$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2}$$，代入得 $$2 \sin B \sin C = 1 + \cos A$$。
利用余弦定理和正弦定理，化简后可得 $$\cos A = \cos (B - C)$$，即 $$A = B - C$$ 或 $$A = C - B$$。
结合三角形内角和 $$A + B + C = \pi$$，解得 $$B = C$$，故为等腰三角形。选 B。
2. 解析：
由正弦定理，$$a \cos A = b \cos B$$ 可化为 $$\sin A \cos A = \sin B \cos B$$，即 $$\sin 2A = \sin 2B$$。
解得 $$2A = 2B$$ 或 $$2A = \pi - 2B$$，即 $$A = B$$ 或 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$。
故三角形为等腰或直角三角形。选 D。
3. 解析：
由正弦定理 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，代入 $$B = 2A$$ 得 $$\frac{1}{\sin A} = \frac{4/3}{\sin 2A}$$。
化简得 $$\cos A = \frac{2}{3}$$，进一步求得 $$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$$，$$\sin B = \sin 2A = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$$。
计算角 $$C = \pi - 3A$$，利用余弦定理判断最大角为 $$C$$，且 $$\cos C < 0$$，故为钝角三角形。选 C。
4. 解析：
面积公式 $$S = \frac{1}{2} b c \sin A$$ 与给定条件联立得 $$\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{4}(b^2 + c^2)$$。
整理得 $$2 b c \sin A = b^2 + c^2$$，结合 $$b^2 + c^2 \geq 2 b c$$，等号成立当且仅当 $$b = c$$ 且 $$\sin A = 1$$。
故 $$b = c$$ 且 $$A = \frac{\pi}{2}$$，为等腰直角三角形。选 D。
5. 解析：
题目条件为 $$\tan A = \tan B = \tan C$$，在三角形中，三个角的正切值相等意味着 $$A = B = C$$。
故为等边三角形。选 D。
6. 解析：
向量条件 $$\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} < 0$$ 可化为 $$c^2 + c \cdot a \cos B < 0$$。
因边长 $$c > 0$$，化简得 $$c + a \cos B < 0$$，即 $$\cos B < -\frac{c}{a}$$。
由余弦定理知 $$\cos B < 0$$，故角 $$B$$ 为钝角，三角形为钝角三角形。选 C。
7. 解析：
由三角形边长关系，$$\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$$ 需满足三角不等式。由于 $$a, b, c$$ 是三角形边长，$$\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c}$$ 等成立，故可以构成三角形。
进一步分析可知，可以构成锐角三角形。选 B。
8. 解析：
① 由正弦定理，$$A > B > C$$ 则 $$\sin A > \sin B > \sin C$$ 正确。
② 若 $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$$，结合正弦定理和余弦定理，可推得 $$A = B = C = \frac{\pi}{3}$$，故为等边三角形，正确。
③ 当 $$a = 40$$，$$b = 20$$，$$B = 25^\circ$$ 时，由正弦定理 $$\sin A = 2 \sin 25^\circ \approx 0.845$$，有两解，正确。
④ 向量条件 $$2 a \overrightarrow{BC} + b \overrightarrow{CA} + c \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$ 可推得最小角小于 $$\frac{\pi}{6}$$，正确。
综上，选 B（①②③）。
9. 解析：
由条件 $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$$，结合正弦定理 $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$$，得 $$\sin B = \cos B$$，$$\sin C = \cos C$$。
解得 $$B = C = \frac{\pi}{4}$$，故 $$A = \frac{\pi}{2}$$，为等腰直角三角形。选 C。
10. 解析：
由余弦定理，$$a = 2 b \cos C$$ 可化为 $$a = 2 b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b}$$，化简得 $$a^2 = a^2 + b^2 - c^2$$，即 $$b^2 = c^2$$。
故 $$b = c$$，三角形为等腰三角形。选 B。