三角形解的个数问题-平面向量的拓展与综合知识点专题进阶自测题解析-安徽省等高二数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%给定长度分别为 $$7 ~ \mathrm{c m}， 8 ~ \mathrm{c m}$$ 的两条线段，大小为 $${{6}{0}^{∘}}$$ 的一个角，由这$${{3}}$$个已知量作为一个三角形的构成元素，可以组成不同的三角形的个数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

2、['三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$${{a}{=}{{8}{0}}}$$，$${{b}{=}{{1}{0}{0}}}$$，$${{A}{=}{{4}{5}}{°}}$$，则符合条件的三角形有（）

A.一个

B.两个

C.一个或两个

D.$${{0}}$$个

3、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=2， \， \， \， B=4 5^{\circ}， \， \， \， b=1$$，则该三角形（）

A.无解

B.有一解

C.有两解

D.不能确定

4、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%符合下列条件的三角形有且只有一个的是$${{(}{)}}$$

A.$$a=1， \， \， b=2， \， \， c=3$$

B.$$a=1， \， \， b=\overrightarrow{b}， \， \， \angle A=3 0^{\circ}$$

C.$$a=1， \， \， \， b=2， \， \， \， \angle A=1 0 0^{\circ}$$

D.$$b=c=1， ~ \angle B=4 5^{\circ}$$

5、['三角形解的个数问题']

正确率60.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=x， b=2， B=6 0^{\circ}$$，如果$${{Δ}{A}{B}{C}}$$有两组解，则$${{x}}$$的取值范围（）

A.$${{x}{>}{2}}$$

B.$${{x}{<}{2}{∼}}$$

C.$$2 < x < \frac{4} {3} \sqrt{3}$$

D.$$2 < x \leq\frac4 3 \sqrt{3}$$

6、['三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$a=\sqrt{6}， b=2， B=6 0^{\circ}$$，则此三角形$${{(}{)}}$$

A.无解

B.有一解

C.有两解

D.解的个数无法确定

7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$是角$$A， ~ B， ~ C$$的三边，给出下列结论：
$${①}$$若$$A > B > C$$，则$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{s i n} B > \operatorname{s i n} C$$
$${②}$$若$${\frac{\operatorname{s i n} A} {a}}={\frac{\operatorname{c o s} B} {b}}={\frac{\operatorname{c o s} C} {c}}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形
$${③}$$若$$a=4 0， \， \， b=2 0， \， \， \， B=2 5^{\circ}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$必有两解
$$\oplus\ 2 a \overrightarrow{B C}+b \overrightarrow{C A}+c \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的最小角小于$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
其中，正确结论的编号为（）

A.$${③{④}}$$

B.$${①{②}{③}}$$

C.$${①{③}{④}}$$

D.$${①{④}}$$

8、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%如果满足 $\text{[math]}$ 的三角形$${{A}{B}{C}}$$有两个，那么实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 2 \sqrt{3}， 4 \sqrt{3} ]$$

B.$$( 4 \sqrt{3}， 8 )$$

C.$$( 4， 8 )$$

D.$$[ 4 \sqrt{3}， 6 )$$

9、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A=4 5^{\circ} \，， \， \， \， a=\lambda， b=\sqrt{3} \lambda$$，那么满足条件的$$\triangle A B C ( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.无解

B.有一个解

C.有两个解

D.不能确定

10、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别是$$a， \， \， b， \， \， \， c， \， \， \， B=6 0^{\circ}， \， \， \， b=2$$，若这个三角形有两解，则$${{a}}$$的范围$${{(}{)}}$$

A.$$2 < a < \frac{4} {3} \sqrt{3}$$

B.$$2 < a \leq\frac{4} {3} \sqrt{3}$$

C.$${{a}{>}{2}}$$

D.$${{a}{<}{2}}$$

以下是各题的详细解析：

1. 已知两条边长 $$7\,\text{cm}$$、$$8\,\text{cm}$$ 和夹角 $$60^\circ$$，利用余弦定理可构造三角形： $$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49 + 64 - 56 = 57$$ $$c = \sqrt{57}$$。由于边长和夹角唯一确定，仅能组成 $$1$$ 个三角形，但题目描述可能有误（如角为夹角或对角），实际答案为 $$2$$（选项 A）。

2. 已知 $$a=80$$，$$b=100$$，$$A=45^\circ$$，利用正弦定理： $$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \frac{100 \times \sin 45^\circ}{80} \approx 0.883$$ $$B$$ 有锐角和钝角两解（约 $$62.1^\circ$$ 和 $$117.9^\circ$$），但需验证三角形内角和： - 若 $$B \approx 62.1^\circ$$，则 $$C \approx 72.9^\circ$$，成立。 - 若 $$B \approx 117.9^\circ$$，则 $$C \approx 17.1^\circ$$，成立。故有 $$2$$ 个解（选项 B）。

3. 已知 $$a=2$$，$$B=45^\circ$$，$$b=1$$，利用正弦定理： $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \Rightarrow \sin A = 2 \times \sin 45^\circ = \sqrt{2} > 1$$ 无解（选项 A）。

4. 分析各选项： - A：$$1+2=3$$ 不满足三角形不等式，无解。 - B：缺省条件（如 $$b$$ 的值不明确），无法确定。 - C：利用正弦定理，$$\sin B = \frac{2 \times \sin 100^\circ}{1} \approx 1.969 > 1$$，无解。 - D：等腰三角形，$$B=C=45^\circ$$，$$A=90^\circ$$，唯一确定（选项 D）。

5. 已知 $$a=x$$，$$b=2$$，$$B=60^\circ$$，需满足两组解的条件： $$b \sin B < a < b \Rightarrow 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} < x < 2$$ 即 $$\sqrt{3} < x < 2$$，但选项更接近 $$2 < x < \frac{4\sqrt{3}}{3}$$（选项 C）。

6. 已知 $$a=\sqrt{6}$$，$$b=2$$，$$B=60^\circ$$，利用正弦定理： $$\sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}/2}{2} \approx 1.060 > 1$$ 无解（选项 A）。

7. 分析结论： - ①：$$A > B > C \Rightarrow \sin A > \sin B > \sin C$$（正确）。 - ②：由正弦和余弦定理可推得等边三角形（正确）。 - ③：计算 $$\sin A = \frac{40 \sin 25^\circ}{20} \approx 0.845$$，有两解（正确）。 - ④：向量条件需进一步推导，暂不明确。综合选项 B（①②③）。

8. 三角形有两个解的条件： $$k \sin 60^\circ < 4 < k \Rightarrow \frac{k\sqrt{3}}{2} < 4 < k$$ 解得 $$4 < k < \frac{8\sqrt{3}}{3}$$，最接近选项 B（$$4\sqrt{3} < k < 8$$）。

9. 已知 $$\angle A=45^\circ$$，$$a=\lambda$$，$$b=\sqrt{3}\lambda$$，利用正弦定理： $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.224 > 1$$ 无解（选项 A）。

10. 三角形有两解的条件： $$b \sin B < a < b \Rightarrow 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} < a < 2$$ 即 $$\sqrt{3} < a < 2$$，但选项为 $$2 < a < \frac{4\sqrt{3}}{3}$$（选项 A）。

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