格物学 第六章 平面向量及其应用平面向量的拓展与综合

向量与其他知识的综合应用-平面向量的拓展与综合知识点考前进阶单选题自测题解析-黑龙江省等高二数学必修,平均正确率42.00000000000001%

2025-05-19
向量与其他知识的综合应用-平面向量的拓展与综合知识点考前进阶单选题自测题解析-黑龙江省等高二数学必修,平均正确率42.00000000000001%
1、['向量的模'， '向量与其他知识的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{|}{a}{|}{=}{\sqrt {3}}{，}{|}{b}{|}{=}{1}}$$，且对任意实数$${{x}}$$，不等式$${{|}{a}{+}{x}{b}{|}{⩾}{|}{a}{+}{b}{|}}$$恒成立，设$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$${{θ}{，}}$$则$${{t}{a}{n}{2}{θ}{=}}$$（）

D

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

2、['向量坐标与向量的数量积'， '两角和与差的余弦公式'， '向量与其他知识的综合应用'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%$${{R}{t}{△}{A}{B}{C}}$$的斜边$${{A}{B}}$$等于$${{4}}$$，点$${{P}}$$在以$${{C}}$$为圆心$${、{1}}$$为半径的圆上，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的取值范围是

C

A.$$[-\frac{3} {2}， \frac{5} {2} ]$$

B.$$[-\frac{5} {2}， \frac{5} {2} ]$$

C.$${{[}{−}{3}{，}{5}{]}}$$

D.$${{[}{1}{−}{2}{\sqrt {3}}{，}{1}{+}{2}{\sqrt {3}}{]}}$$

4、['三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{A}{B}{=}{3}{，}{B}{C}{=}{\sqrt {7}}}$$，$${{A}{C}{=}{2}{，}}$$若点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{A C}$$的值为（）

C

A.$${{3}}$$

B.$$\frac{7} {2}$$

C.$${{5}{−}{\sqrt {7}}}$$

D.$$\frac{1 5} {2}$$

5、['三角形的面积（公式）'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\ ( \ 2， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{\frac{B A} {| B A |}}+\frac{\overrightarrow{B C}} {| \overrightarrow{B C} |}=\frac{\overrightarrow{B D}} {| \overrightarrow{B D} |}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的面积是（）

A

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

6、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$，则$${{P}}$$点轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）

B

A.重心

B.外心

C.内心

D.垂心

7、['向量与其他知识的综合应用'， '数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%在直角坐标平面$${{x}{O}{y}}$$上的一列点$${{A}_{1}{（}{1}{，}{{a}_{1}}{）}{，}{{A}_{2}}{（}{2}{，}{{a}_{2}}{）}{，}{…}{，}{{A}_{n}}{（}{2}{，}{{a}_{n}}{）}{，}{…}}$$，简记为$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$.若由$$b_{n}=\overrightarrow{A_{n} A_{n+1}} \cdot\overrightarrow{j}$$构成的数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1} > b_{n}， \， \， \， n=1， \， \， \， 2，$$，其中$${{j}^{→}}$$为方向与$${{y}}$$轴正方向相同的单位向量，则称$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列．有下列说法
$$\oplus\; A_{1} ( 1， \; 1 )， \; \; A_{2} ( 2， \; \; \frac{1} {2} )， \; \; A_{3} ( 3， \; \; \frac{1} {3} )， \; \; \ldots\; A_{n} ( n. \; \frac{1} {n} )， \; \; \ldots$$，为$${{T}}$$点列；
$${②}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，且点$${{A}_{2}}$$在点$${{A}_{1}}$$的右上方．任取其中连续三点$$A_{k} \cdot\ A_{k+1} \cdot\ A_{k+2}$$，则$$\triangle A_{k} A_{k+1} A_{k+2}$$可以为锐角三角形；
$${③}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$${{1}{⩽}{m}{<}{n}{<}{p}{<}{q}}$$，满足$${{m}{+}{q}{=}{n}{+}{p}}$$，则$${{a}_{q}{−}{{a}_{p}}{⩾}{（}{q}{−}{p}{）}{{b}_{p}}}$$；
$${④}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$${{1}{⩽}{m}{<}{n}{<}{p}{<}{q}}$$，满足$${{m}{+}{q}{=}{n}{+}{p}}$$，则$$\overrightarrow{A_{n} A_{q}} \cdot\overrightarrow{j} > \overrightarrow{A_{m} A_{p}} \cdot\overrightarrow{j}.$$
其中，正确说法的个数为（）

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

8、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$是半径为$${{2}}$$的圆$${{O}}$$上的三点，若$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A O}$$且$$( \left( \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} \right) \perp\overrightarrow{A O}$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=\emptyset$$）

C

A.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{2}}$$

9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是单位向量，$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}}$$.若向量$${{c}^{→}}$$满足$${{|}{{c}^{→}}{−}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{1}{，}}$$则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的取值范围是（）

A

A.$${{[}{\sqrt {2}}{−}{1}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{]}}$$

B.$${{[}{\sqrt {2}}{−}{1}{，}{\sqrt {2}}{{+}{2}}{]}}$$

C.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{]}}$$

D.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{{+}{2}}{]}}$$

10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '向量与其他知识的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%双曲线$$E_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \matrix\ a > 0， \ b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作一条直线与两条渐近线分别相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\overrightarrow{F_{1} B}=2 \overrightarrow{F_{1} A}， \， \， \， | F_{1} F_{2} |=2 | O B |，$$则双曲线的离心率为（）

C

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

1. 解析：

由题意，$$|a + x b| \geq |a + b|$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。这意味着 $$x = -1$$ 时不等式取等号，即 $$|a - b| = |a + b|$$。两边平方得：
$$(a - b) \cdot (a - b) = (a + b) \cdot (a + b)$$
展开后得到 $$a \cdot b = 0$$，即 $$a$$ 与 $$b$$ 垂直。
但题目要求的是夹角 $$\theta$$，重新分析：
不等式 $$|a + x b| \geq |a + b|$$ 对所有 $$x$$ 成立，说明 $$x = -1$$ 是极小值点。计算 $$f(x) = |a + x b|^2 = |a|^2 + 2x a \cdot b + x^2 |b|^2$$，其导数为 $$f'(x) = 2a \cdot b + 2x |b|^2$$。在 $$x = -1$$ 处导数为零，故 $$a \cdot b = |b|^2 = 1$$。
又 $$|a| = \sqrt{3}$$，所以 $$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，$$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
因此 $$\tan \theta = \sqrt{2}$$，$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2 \sqrt{2}}{1 - 2} = -2 \sqrt{2}$$。
答案为 C。

2. 解析：

以 $$C$$ 为原点，$$CA$$ 为 $$x$$ 轴，$$CB$$ 为 $$y$$ 轴建立坐标系。设 $$A(2, 0)$$，$$B(0, 2 \sqrt{3})$$（因 $$AB = 4$$），圆 $$C$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 = 1$$。
设 $$P(\cos \theta, \sin \theta)$$，则 $$\overrightarrow{PA} = (2 - \cos \theta, -\sin \theta)$$，$$\overrightarrow{PB} = (-\cos \theta, 2 \sqrt{3} - \sin \theta)$$。
点积为 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (2 - \cos \theta)(-\cos \theta) + (-\sin \theta)(2 \sqrt{3} - \sin \theta) = -2 \cos \theta + \cos^2 \theta - 2 \sqrt{3} \sin \theta + \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos \theta - 2 \sqrt{3} \sin \theta$$。
极值为 $$1 \pm \sqrt{(-2)^2 + (-2 \sqrt{3})^2} = 1 \pm 4$$，即 $$[-3, 5]$$。
答案为 C。

4. 解析：

由余弦定理，$$\cos \angle BAC = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \times 3 \times 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$，故 $$\angle BAC = 60^\circ$$。
内心 $$O$$ 到各边的距离相等，设内切圆半径为 $$r$$，面积为 $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \sin 60^\circ = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$，半周长 $$p = \frac{3 + 2 + \sqrt{7}}{2}$$，则 $$r = \frac{S}{p} = \frac{3 \sqrt{3}}{3 + 2 + \sqrt{7}}$$。
$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = |AO| \cdot |AC| \cdot \cos \angle OAC$$。由角平分线定理，$$AO$$ 与 $$AC$$ 的夹角为 $$30^\circ$$，且 $$|AO| = \frac{r}{\sin 30^\circ} = 2r$$。
代入得 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = 2r \times 2 \times \cos 30^\circ = 4r \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} r$$。计算得 $$2 \sqrt{3} \times \frac{3 \sqrt{3}}{5 + \sqrt{7}} = \frac{18}{5 + \sqrt{7}} = \frac{18(5 - \sqrt{7})}{18} = 5 - \sqrt{7}$$。
答案为 C。

5. 解析：

由 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (2, 0)$$，知 $$AB \parallel DC$$ 且 $$AB = DC = 2$$，四边形 $$ABCD$$ 为平行四边形。
由 $$\frac{\overrightarrow{BA}}{|BA|} + \frac{\overrightarrow{BC}}{|BC|} = \frac{\overrightarrow{BD}}{|BD|}$$，设 $$\overrightarrow{BA} = (-2, 0)$$，$$\overrightarrow{BC} = (x, y)$$，则 $$\frac{(-2, 0)}{2} + \frac{(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{(x - 2, y)}{\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$$。
整理得 $$(-1, 0) + \frac{(x, y)}{|BC|} = \frac{(x - 2, y)}{|BD|}$$。由 $$y$$ 分量相等，得 $$\frac{y}{|BC|} = \frac{y}{|BD|}$$，故 $$|BC| = |BD|$$。
代入 $$x$$ 分量得 $$-1 + \frac{x}{|BC|} = \frac{x - 2}{|BC|}$$，解得 $$|BC| = 2$$。因此 $$\overrightarrow{BC} = (1, \sqrt{3})$$，面积为 $$|AB| \times |BC| \times \sin 60^\circ = 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$$。
答案为 A。

6. 解析：

将条件 $$\overrightarrow{CA}^2 = \overrightarrow{CB}^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$ 展开：
$$|CA|^2 = |CB|^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$，即 $$2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP} = |CB|^2 - |CA|^2$$。
由余弦定理，$$|CB|^2 - |CA|^2 = AB^2 - 2 AB \cdot CA \cos \angle A$$，但更直接的方法是注意到 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$ 表示 $$P$$ 在 $$AB$$ 的垂直方向上的投影。
等式表明 $$P$$ 满足 $$2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP} = \text{常数}$$，即 $$P$$ 的轨迹是 $$AB$$ 的垂直平分线，故通过外心。
答案为 B。

7. 解析：

① $$b_n = a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = -\frac{1}{n(n+1)}$$，$$b_{n+1} = -\frac{1}{(n+1)(n+2)} > b_n$$ 不成立（实际 $$b_{n+1} < b_n$$），故错误。
② 若 $$A_2$$ 在 $$A_1$$ 右上方，$$b_n$$ 递增，但 $$\triangle A_k A_{k+1} A_{k+2}$$ 可能为锐角三角形，正确。
③ 由 $$b_n$$ 递增，$$a_q - a_p = \sum_{i=p}^{q-1} b_i \geq (q - p) b_p$$，正确。
④ 由 $$m + q = n + p$$ 和 $$b_n$$ 递增，$$\overrightarrow{A_n A_q} \cdot j = a_q - a_n > a_p - a_m = \overrightarrow{A_m A_p} \cdot j$$，正确。
答案为 C（②③④正确）。

8. 解析：

由 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}$$，知 $$O$$ 是 $$BC$$ 的中点，$$BC$$ 为直径，$$|BC| = 4$$。
由 $$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) \perp \overrightarrow{AO}$$，即 $$\overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{AO}$$，故 $$AO \perp BC$$，$$AO$$ 是 $$BC$$ 的垂直平分线。
设 $$\angle BAC = \theta$$，则 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos \theta$$。由 $$AO = 2$$，$$AB = AC = 2 \sqrt{3}$$（勾股定理），$$\cos \theta = \frac{1}{3}$$，故点积为 $$2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{3} = 4$$。
答案为 D。

9. 解析：

设 $$a = (1, 0)$$，$$b = (0, 1)$$，则 $$c$$ 满足 $$|c - (1, 1)| = 1$$，即 $$c$$ 在以 $$(1, 1)$$ 为圆心、半径为 1 的圆上。
$$|c|$$ 的取值范围为 $$[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1]$$。
答案为 A。

10. 解析：

由 $$\overrightarrow{F_1 B} = 2 \overrightarrow{F_1 A}$$，知 $$A$$ 是 $$F_1 B$$ 的中点。设渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a} x$$，$$F_1 = (-c, 0)$$。
由 $$|F_1 F_2| = 2c = 2 |OB|$$，得 $$|OB| = c$$。设 $$B$$ 在渐近线上，坐标为 $$(x, \frac{b}{a} x)$$，则 $$x^2 + (\frac{b}{a} x)^2 = c^2$$，解得 $$x = a$$，$$B = (a, b)$$。
由中点条件，$$A = \left(\frac{-c + a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ 在另一渐近线上，故 $$\frac{b}{2} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{-c + a}{2}$$，化简得 $$c = 2a$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$。
答案为 C。
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