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正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$A. ~ B. ~ C$$成等差数列，$${{b}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的取值范围（）
B
A.$$( 0， \frac{3} {4} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{3 \sqrt{3}} {4} ]$$
C.$$( \frac{1} {4}， \frac{3 \sqrt{3}} {4} ]$$
D.$$[ \frac{\sqrt{3}} {4}， \frac{1} {2} ]$$
2、['正弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%设锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$a=2， \， \， \， B=2 A，$$则$${{b}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \sqrt{2}， \ 2 )$$
B.$$( \sqrt{2}， ~ \sqrt{3} )$$
C.$$( 2 \sqrt{2}， ~ 2 \sqrt{3} )$$
D.$$( 0， \ 2 )$$
3、['三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$b=2， \， \， \， a^{2} \mathrm{s i n} C=6 \mathrm{s i n} A，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为（）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{3}}$$
5、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{2 c-b} {a}=\frac{\operatorname{c o s} B} {\operatorname{c o s} A}$$，$${{a}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，则当$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积取得最大值时，$${{b}{=}}$$（）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率60.0%在不等边三角形中，是最大的边，若$$a^{2} < b^{2}+c^{2}$$，则角$${{A}}$$的取值范围是（）
C
A.$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$
B.$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)$$
C.$$\left( \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} \right)$$
D.$$\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)$$
7、['点到直线的距离'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%在平面直角坐标系中，记$${{d}}$$为点$$P (-1， 4 )$$到直线$$x \!-\! m y \!-\! 2 \!=\! 0$$的距离，当$${{m}}$$变化时，$${{d}}$$的最大值为（$${）}$$．
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率19.999999999999996%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\angle C=\frac{\pi} {2}， \， \， \， | \overrightarrow{A C} | < | \overrightarrow{B C} |， \， \， \， \overrightarrow{C O}=\frac{1} {2} \lambda\overrightarrow{C A}+\， \， \， ( 1-\lambda) \， \， \， \overrightarrow{C B} \， \， ( 0 < \lambda< 1 ) \， \， \，，$$则$$| \overrightarrow{C O} |$$取最小值时有（）
B
A.$$| \overrightarrow{O A} | > | \overrightarrow{O B} | > | \overrightarrow{O C} |$$
B.$$| \overrightarrow{O B} | > | \overrightarrow{O A} | > | \overrightarrow{O C} |$$
C.$$| \overrightarrow{O B} | > | \overrightarrow{O C} | > | \overrightarrow{O A} |$$
D.$$| \overrightarrow{O A} | > | \overrightarrow{O C} | > | \overrightarrow{O B} |$$
9、['三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%中国宋代的数学家秦九韶曾提出$${{“}}$$三斜求积术$${{”}}$$，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$，三角形的面积$${{S}}$$可由公式$$S=\sqrt{p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c )}$$求得，其中$${{p}}$$为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦$${{−}}$$秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足$$a+b=1 2， \， \， \， c=8$$，则此三角形面积的最大值为（）
B
A.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{8}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边为$$a， ~ b， ~ c$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$- \frac{\sqrt{3}} {4} ( a^{2}+c^{2}-b^{2} )， \， \， b=2 \sqrt{3}$$，则$${{a}{+}{c}}$$的最大值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
由于角 $$A, B, C$$ 成等差数列，设 $$B = \frac{\pi}{3}$$，则 $$A + C = \frac{2\pi}{3}$$。由正弦定理，$$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = 2 \sin A$$，$$c = \frac{b \sin C}{\sin B} = 2 \sin C$$。
面积为 $$S = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \sin C$$。利用 $$A + C = \frac{2\pi}{3}$$，得 $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \sin \left( \frac{2\pi}{3} - A \right)$$。
化简后，$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sin \left( 2A - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$。由于 $$A$$ 在锐角范围内，$$A \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$，故 $$S \in \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4} \right]$$。
因此，答案为 B。
2. 解析：
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，且 $$B = 2A$$，故 $$b = 2 \cos A$$。
由于三角形为锐角三角形，需满足 $$A < \frac{\pi}{2}$$，$$B = 2A < \frac{\pi}{2}$$，且 $$C = \pi - 3A < \frac{\pi}{2}$$，解得 $$A \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} \right)$$。
因此，$$b = 2 \cos A \in \left( \sqrt{2}, \sqrt{3} \right)$$。
答案为 B。
3. 解析：
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$，故 $$a^2 \sin C = 6 \sin A$$ 可化为 $$4R^2 \sin^2 A \sin C = 6 \sin A$$，即 $$2R \sin A \cdot 2R \sin C = 6$$，即 $$a c = 6$$。
面积为 $$S = \frac{1}{2} a c \sin B = 3 \sin B$$，当 $$\sin B = 1$$ 时，面积最大为 $$3$$。
答案为 D。
5. 解析：
由条件 $$\frac{2c - b}{a} = \frac{\cos B}{\cos A}$$，结合正弦定理和余弦定理，化简可得 $$\tan A = \sqrt{3}$$，即 $$A = \frac{\pi}{3}$$。
由余弦定理，$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，代入 $$a = 2\sqrt{3}$$，得 $$12 = b^2 + c^2 - bc$$。
面积为 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{\sqrt{3}}{4} bc$$。由不等式 $$b^2 + c^2 \geq 2bc$$，得 $$12 \geq bc$$，当 $$b = c = 2\sqrt{3}$$ 时，面积最大。
答案为 B。
6. 解析：
由条件 $$a^2 < b^2 + c^2$$，结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，得 $$\cos A > 0$$，即 $$A \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$。
又因为 $$a$$ 是最大边，故 $$A$$ 为最大角，需满足 $$A > \frac{\pi}{3}$$（若 $$A \leq \frac{\pi}{3}$$，则 $$a$$ 不是最大边）。
综上，$$A \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$$。
答案为 C。
7. 解析：
点 $$P(-1, 4)$$ 到直线 $$x - m y - 2 = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|-1 - 4m - 2|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{3 + 4m}{\sqrt{1 + m^2}}$$。
求 $$d$$ 的最大值，等价于求 $$\frac{3 + 4m}{\sqrt{1 + m^2}}$$ 的最大值。设 $$f(m) = \frac{3 + 4m}{\sqrt{1 + m^2}}$$，求导可得极值点为 $$m = \frac{4}{3}$$，代入得 $$d_{\text{max}} = 5$$。
答案为 C。
8. 解析：
设 $$C$$ 为原点，$$CA$$ 沿 $$x$$-轴，$$CB$$ 沿 $$y$$-轴，则 $$\overrightarrow{CO} = \frac{1}{2} \lambda \overrightarrow{CA} + (1 - \lambda) \overrightarrow{CB}$$，即 $$O$$ 的坐标为 $$\left( \frac{\lambda}{2} a, (1 - \lambda) b \right)$$。
$$|\overrightarrow{CO}| = \sqrt{\left( \frac{\lambda}{2} a \right)^2 + \left( (1 - \lambda) b \right)^2}$$，求最小值需对 $$\lambda$$ 求导，解得 $$\lambda = \frac{4b^2}{a^2 + 4b^2}$$。
代入比较 $$|OA|$$、$$|OB|$$ 和 $$|OC|$$ 的大小，可得 $$|OB| > |OA| > |OC|$$。
答案为 B。
9. 解析：
由海伦公式，$$p = \frac{a + b + c}{2} = 10$$，面积为 $$S = \sqrt{10 (10 - a) (10 - b) (10 - 8)}$$。
由于 $$a + b = 12$$，设 $$a = 6 + t$$，$$b = 6 - t$$，则 $$S = \sqrt{10 (4 - t) (4 + t) \cdot 2} = 2 \sqrt{5 (16 - t^2)}$$。
当 $$t = 0$$ 时，$$S$$ 取得最大值 $$8 \sqrt{5}$$。
答案为 B。
10. 解析：
由面积公式 $$S = \frac{1}{2} a c \sin B$$ 和给定条件 $$S = -\frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + c^2 - b^2)$$，结合余弦定理 $$a^2 + c^2 - b^2 = 2 a c \cos B$$，得 $$\frac{1}{2} a c \sin B = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 a c \cos B$$，即 $$\tan B = -\sqrt{3}$$，故 $$B = \frac{2\pi}{3}$$。
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = 4$$，故 $$a + c = 4 (\sin A + \sin C)$$。
利用 $$A + C = \frac{\pi}{3}$$，得 $$a + c = 8 \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( A - \frac{\pi}{6} \right) \leq 4$$，当 $$A = \frac{\pi}{6}$$ 时取最大值。
答案为 D。