判断三角形的形状-平面向量的拓展与综合知识点回顾进阶选择题自测题答案-北京市等高二数学必修,平均正确率52.0%

解析：

首先，若$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形，则所有角均小于$$90^\circ$$。此时，$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{c o s} B$$等价于$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{s i n}(90^\circ - B)$$，由于$$A$$和$$90^\circ - B$$都在$$(0, 90^\circ)$$内且正弦函数单调递增，故$$A > 90^\circ - B$$，即$$A + B > 90^\circ$$。由于$$A + B + C = 180^\circ$$，所以$$C < 90^\circ$$，这与锐角三角形的定义一致。

反过来，若$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{c o s} B$$，可以推导出$$A + B > 90^\circ$$，从而$$C < 90^\circ$$。但仅凭这一点无法保证$$A$$和$$B$$都小于$$90^\circ$$（例如，$$A = 100^\circ$$, $$B = 10^\circ$$, $$C = 70^\circ$$时也满足条件，但此时$${{△}{A}{B}{C}}$$不是锐角三角形）。因此，“$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{c o s} B$$”是“$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形”的必要不充分条件。

答案：B

解析：

由余弦定理，$$2 \mathrm{c o s} B = \frac{a}{c}$$可化为$$2 \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c} = \frac{a}{c}$$，化简得$$a^2 + c^2 - b^2 = a^2$$，即$$c^2 = b^2$$，故$$b = c$$，三角形为等腰三角形。

进一步，由$$b \mathrm{c o s} C + \frac{\sqrt{2}}{2} c = a$$，代入$$b = c$$得$$b (\mathrm{c o s} C + \frac{\sqrt{2}}{2}) = a$$。由余弦定理，$$\mathrm{c o s} C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} = \frac{a^2}{2 a b} = \frac{a}{2 b}$$。代入上式得$$b \left(\frac{a}{2 b} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a$$，化简得$$\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} b = a$$，即$$\frac{\sqrt{2}}{2} b = \frac{a}{2}$$，故$$a = \sqrt{2} b$$。

此时，由勾股定理验证$$a^2 = 2 b^2 = b^2 + b^2 = b^2 + c^2$$，满足直角三角形的条件，且$$b = c$$，故为等腰直角三角形。

答案：D

解析：

由余弦定理，$$\operatorname{c o s} C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b}$$。题目条件为$$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} > \frac{b}{a}$$，化简得$$a^2 + b^2 - c^2 > 2 b^2$$，即$$a^2 - b^2 - c^2 > 0$$，故$$a^2 > b^2 + c^2$$。

根据余弦定理，$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \operatorname{c o s} A$$，代入得$$b^2 + c^2 - 2 b c \operatorname{c o s} A > b^2 + c^2$$，即$$-2 b c \operatorname{c o s} A > 0$$，故$$\operatorname{c o s} A < 0$$，即$$A$$为钝角。因此，$${{△}{A}{B}{C}}$$为钝角三角形。

答案：D

解析：

由正弦定理，$$\mathrm{s i n} A = \mathrm{s i n}(B + C) = \mathrm{s i n} B \mathrm{c o s} C + \mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} C$$。题目条件为$$2 \mathrm{c o s} C \mathrm{s i n} B = \mathrm{s i n} A$$，代入得$$2 \mathrm{c o s} C \mathrm{s i n} B = \mathrm{s i n} B \mathrm{c o s} C + \mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} C$$，化简得$$\mathrm{s i n} B \mathrm{c o s} C = \mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} C$$，即$$\mathrm{s i n} B \mathrm{c o s} C - \mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} C = 0$$，即$$\mathrm{s i n}(B - C) = 0$$。

因此，$$B - C = 0$$或$$B - C = \pi$$（舍去），故$$B = C$$，三角形为等腰三角形。

答案：B

解析：

由正弦定理，$$\frac{a}{\mathrm{s i n} A} = \frac{b}{\mathrm{s i n} B} = \frac{c}{\mathrm{s i n} C} = 2 R$$，其中$$R$$为外接圆半径。因此，$$\mathrm{s i n}^{2} C > \mathrm{s i n}^{2} A + \mathrm{s i n}^{2} B$$可转化为$$\left(\frac{c}{2 R}\right)^2 > \left(\frac{a}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{b}{2 R}\right)^2$$，即$$c^2 > a^2 + b^2$$。

根据余弦定理，$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \mathrm{c o s} C$$，代入得$$a^2 + b^2 - 2 a b \mathrm{c o s} C > a^2 + b^2$$，即$$-2 a b \mathrm{c o s} C > 0$$，故$$\mathrm{c o s} C < 0$$，即$$C$$为钝角。因此，$${{△}{A}{B}{C}}$$为钝角三角形。

答案：A

解析：

由$$A, B, C$$成等差数列，设$$A = B - d$$，$$C = B + d$$，且$$A + B + C = 180^\circ$$，故$$3 B = 180^\circ$$，即$$B = 60^\circ$$。

由余弦定理，$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \mathrm{c o s} B = a^2 + c^2 - a c$$。题目条件为$$b^2 = a c$$，故$$a^2 + c^2 - a c = a c$$，即$$a^2 + c^2 - 2 a c = 0$$，即$$(a - c)^2 = 0$$，故$$a = c$$。

此时，$$A = C = 60^\circ$$，$$B = 60^\circ$$，故$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形。

答案：D

解析：

首先计算$${{△}{A}{B}{C}}$$的边长：由正弦定理，$$\frac{A C}{\mathrm{s i n} B} = \frac{B C}{\mathrm{s i n} A}$$，即$$\frac{2}{\mathrm{s i n} 60^\circ} = \frac{B C}{\mathrm{s i n} 45^\circ}$$，故$$B C = \frac{2 \cdot \mathrm{s i n} 45^\circ}{\mathrm{s i n} 60^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$。

再计算$$A B$$：由正弦定理，$$\frac{A B}{\mathrm{s i n} C} = \frac{A C}{\mathrm{s i n} B}$$，其中$$C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$$，故$$A B = \frac{2 \cdot \mathrm{s i n} 75^\circ}{\mathrm{s i n} 60^\circ}$$。

逐项分析：

A. 若$${{△}{B}{C}{D}}$$为等边三角形，则$$\angle B C D = 60^\circ$$，且$$B C = C D = B D$$。此时$$B D = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$，但$$A B$$的长度不固定，可能无法满足$$D$$在$$A B$$上。实际计算表明存在这样的$$D$$，故A正确。

B. 通过计算$$\angle C D A$$的余弦值，可以找到$$D$$使得$$\mathrm{c o s} \angle C D A = \frac{1}{3}$$，故B正确。

C. 若$$B D : D C = \sqrt{2} : \sqrt{3}$$，设$$B D = \sqrt{2} k$$，$$D C = \sqrt{3} k$$。由余弦定理验证，可以发现存在这样的$$k$$，故C正确。

D. 若$$C D = 1$$，通过几何构造可以发现$$D$$的位置可能超出$$A B$$的范围，因此不一定存在。实际计算表明不存在这样的$$D$$，故D不正确。

答案：D

解析：

首先化简$$(a + b + c)(a + b - c) = 3 a b$$，展开得$$(a + b)^2 - c^2 = 3 a b$$，即$$a^2 + b^2 - c^2 + 2 a b = 3 a b$$，故$$a^2 + b^2 - c^2 = a b$$。

由余弦定理，$$\mathrm{c o s} C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} = \frac{a b}{2 a b} = \frac{1}{2}$$，故$$C = 60^\circ$$。

由$$\operatorname{s i n} C = 2 \operatorname{c o s} B \operatorname{s i n} A$$，代入$$C = 60^\circ$$得$$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} A$$。由正弦定理，$$\mathrm{s i n} A = \frac{a}{2 R}$$，$$\mathrm{s i n} B = \frac{b}{2 R}$$，代入得$$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c} \cdot \frac{a}{2 R}$$，化简较为复杂。

更简单的方法是注意到$$a^2 + b^2 - c^2 = a b$$和$$C = 60^\circ$$，结合$$\mathrm{c o s} B \mathrm{s i n} A$$的关系，可以推导出$$A = B = C = 60^\circ$$，故$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形。

答案：C

解析：

由余弦定理，$$\mathrm{c o s} B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c}$$，$$\mathrm{c o s} A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}$$。代入题目条件得：

$$a - c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c} = b - c \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}$$，化简得：

$$a - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a} = b - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b}$$，进一步化简得：

$$\frac{2 a^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2 a} = \frac{2 b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2 b}$$，即$$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 b}$$。

若$$a^2 + b^2 - c^2 \neq 0$$，则$$a = b$$；若$$a^2 + b^2 - c^2 = 0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为直角三角形（$$C = 90^\circ$$）。因此，$${{△}{A}{B}{C}}$$为等腰三角形或直角三角形。

答案：C