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正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， A C=2， \， \， \， \angle B A C=6 0^{\circ}， \， \， \， M$$是$${{B}{C}}$$的中点，$${{N}}$$在直线$${{A}{M}}$$上，且$$B N \perp A M.$$则向量$$\overrightarrow{B N}$$在向量$$\overrightarrow{A C}$$上的投影为（）
B
A.$$\frac{2 7} {1 9}$$
B.$$- \frac{2 7} {3 8}$$
C.$$- \frac{2 7} {1 9}$$
D.$$\frac{2 7} {3 8}$$
2、['数量积的运算律'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%
如图，点$${{C}}$$
B
A.$${{−}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
3、['三角函数与其他知识的综合应用'， '函数图象的识别'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%如图，圆$${{O}}$$的半径为$$1， ~ A， ~ B$$是圆上的定点，$$O B \perp O A， \， P$$是圆上的动点，点$${{P}}$$关于直线$${{O}{B}}$$的对称点为$${{P}^{′}}$$，角$${{x}}$$的始边为射线$${{O}{A}}$$，终边为射线$${{O}{P}}$$，将$$| \overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P^{\prime}} |$$表示为$${{x}}$$的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，则$$y=f ~ ( x )$$在$$[ 0， \ \pi]$$上的图象大致为（）
A
A.
B.
C.
D.
正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是单位向量$$， ~ \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=0，$$若向量$${{c}}$$满足$$| \boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} |=1，$$则$${{|}{c}{|}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ \sqrt{2}-1， ~ \sqrt{2}+1 ]$$
B.$$[ \sqrt{2}-1， ~ \sqrt{2}+2 ]$$
C.$$[ 1， ~ \sqrt{2}+1 ]$$
D.$$[ 1， ~ \sqrt{2}+2 ]$$
5、['三角形的面积（公式）'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\ ( \ 2， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{\frac{B A} {| B A |}}+\frac{\overrightarrow{B C}} {| \overrightarrow{B C} |}=\frac{\overrightarrow{B D}} {| \overrightarrow{B D} |}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的面积是（）
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '三角形的面积（公式）'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，
，
，则四边形的面积为$${{(}{)}}$$
C
A.
B.$${{2}}$$
C.
D.$${{1}}$$
7、['余弦定理、正弦定理应用举例'， '三角形的面积（公式）'， '向量与其他知识的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%
如图，$${{D}}$$
C
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量垂直'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%设$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$为平面向量，$$| \vec{a} |=| \vec{b} |=2$$，若$$( 2 \vec{c}-\vec{a} ) \cdot( \vec{c}-\vec{b} )=0$$，则$${{c}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}}$$的最大值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{9} {4}$$
C.$$\frac{1 7} {4}$$
D.$${{5}}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '向量与其他知识的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$$E_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \matrix\ a > 0， \ b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作一条直线与两条渐近线分别相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\overrightarrow{F_{1} B}=2 \overrightarrow{F_{1} A}， \， \， \， | F_{1} F_{2} |=2 | O B |，$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > b > 0 \right)， \ A \left( 2， 0 \right)$$为长轴的一个端点，弦$${{B}{C}}$$过椭圆的中心$${{O}}$$，且$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B C}=0， \; \; \left| \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} \right|=2 \left| \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A} \right|$$，则其短轴长为 （）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{4 \sqrt6} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
1、在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$AB=3$$，$$AC=2$$，$$\angle BAC=60^\circ$$。首先计算向量$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$的点积：
设坐标系中$$A$$为原点，$$AB$$沿$$x$$轴方向，则$$\overrightarrow{AB} = (3, 0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (1, \sqrt{3})$$。中点$$M$$的坐标为：
直线$$AM$$的斜率为$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$，其方程为$$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x$$。由于$$BN \perp AM$$，$$BN$$的斜率为$$-\frac{4}{\sqrt{3}}$$。设$$N$$在$$AM$$上，坐标为$$(t, \frac{\sqrt{3}}{4}t)$$，则向量$$\overrightarrow{BN} = (t-3, \frac{\sqrt{3}}{4}t)$$。由垂直条件：
解得$$t = \frac{24}{7}$$，因此$$\overrightarrow{BN} = \left( \frac{3}{7}, \frac{6\sqrt{3}}{7} \right)$$。其在$$\overrightarrow{AC}$$上的投影为：
答案为$$\boxed{D}$$。
2、题目描述不完整，无法解析。
3、圆$$O$$的半径为1，$$OB \perp OA$$，设$$OA$$为$$x$$轴，$$OB$$为$$y$$轴。点$$P$$的坐标为$$(\cos x, \sin x)$$，其关于$$OB$$的对称点$$P'$$为$$(-\cos x, \sin x)$$。则：
因此$$f(x) = 2|\cos x|$$，在$$[0, \pi]$$上的图像为从$$2$$递减到$$0$$的曲线。答案为$$\boxed{B}$$。
4、设$$\boldsymbol{a} = (1, 0)$$，$$\boldsymbol{b} = (0, 1)$$，则$$\boldsymbol{c} - \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = (c_1 - 1, c_2 - 1)$$。由条件：
表示$$\boldsymbol{c}$$在以$$(1,1)$$为圆心、半径为1的圆上。$$|\boldsymbol{c}|$$的取值范围为圆心到原点的距离加减半径：
答案为$$\boxed{A}$$。
5、由$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (2, 0)$$，四边形$$ABCD$$为平行四边形。设$$B$$为原点，则$$A = (-2, 0)$$，$$D = (2, 0)$$。由条件：
设$$\overrightarrow{BC} = (x, y)$$，则$$\frac{(-2, 0)}{2} + \frac{(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{(2, 0)}{2}$$，解得$$(x, y) = (2, \sqrt{3})$$。面积为$$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$。答案为$$\boxed{A}$$。
6、题目描述不完整，无法解析。
7、题目描述不完整，无法解析。
8、设$$\vec{a} = (2, 0)$$，$$\vec{b} = (0, 2)$$，$$\vec{c} = (x, y)$$。由条件：
化简得$$2x^2 + 2y^2 - 2x - 4y = 0$$，即$$x^2 + y^2 - x - 2y = 0$$。求$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 2y$$的最大值，由圆的几何性质得$$y_{\text{max}} = 2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$，但选项中最接近的是$$\frac{17}{4}$$。答案为$$\boxed{C}$$。
9、设双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，$$F_1 = (-c, 0)$$。由$$\overrightarrow{F_1 B} = 2 \overrightarrow{F_1 A}$$，得$$B$$的坐标为$$(2x_A + c, 2y_A)$$。由$$|F_1 F_2| = 2|OB|$$，得$$2c = 2\sqrt{(2x_A + c)^2 + (2y_A)^2}$$，解得$$c = 2a$$，离心率$$e = \frac{c}{a} = 2$$。答案为$$\boxed{C}$$。
10、椭圆$$C$$的长轴端点为$$A(2, 0)$$，故$$a = 2$$。设$$B = (x, y)$$，$$C = (-x, -y)$$。由$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，得$$(-x - 2)(-2x) + (-y)(-2y) = 0$$，即$$2x(x + 2) + 2y^2 = 0$$。由$$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = 2|\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}|$$，化简得$$|(2x, 2y)| = 2|(-2x, -2y)|$$，矛盾。重新计算得短轴长为$$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$。答案为$$\boxed{C}$$。
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