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正确率40.0%秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作$${《}$$数书九章$${》}$$中叙述了已知三角形的三条边长$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，求三角形面积的方法．其求法是：$${{“}}$$以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．$${{”}}$$若把以上这段文字写成公式，即为$${{S}{=}}$$$$\sqrt{\frac{1} {4} [ a^{2} c^{2}-( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}} {2} )^{2} ]}$$.已知$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$的三条边长为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，其面积为$${{1}{2}}$$，且$${{a}^{2}{+}{{c}^{2}}{−}{{b}^{2}}{=}{{1}{4}}}$$，则$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$周长的最小值为（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {6}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}}$$点$${{P}}$$在椭圆上，若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{4}{，}}$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
4、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$的对边，若$${{∠}{A}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{b}{=}{3}{，}{c}{=}{4}{，}{△}{A}{B}{C}}$$内有一点$${{P}}$$使得$$\overrightarrow{P A}， \， \overrightarrow{P B}， \， \overrightarrow{P C}$$两两夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$$\overrightarrow{P A}^{2}+\overrightarrow{P B}^{2}+\overrightarrow{P C}^{2}=~ ($$）
B
A.$${{2}{5}{+}{4}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{5}{−}{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{4}{+}{5}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{4}{−}{5}{\sqrt {3}}}$$
5、['余弦定理及其应用'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {7 2}+\frac{y^{2}} {3 6}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，该椭圆上一点$${{M}}$$满足$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{Δ}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}}$$的面积为
A
A.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{1}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{4}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，三个内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$$a， \ b， \ c， \ c=2， \ B=\frac{\pi} {3}， \ D$$为边$${{A}{C}}$$的中点，$$\left| \overrightarrow{B D} \right|=\sqrt{3}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别是$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}}$$若$$c^{2}+2 a b=a^{2}+b^{2}+6， \， \， \， C=\frac{2 \pi} {3}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
8、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知离心率为$$\frac{\sqrt5} {2}$$的双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}{M}}$$是双曲线$${{C}}$$的一条渐近线上的点，且$${{O}{M}{⊥}{M}{{F}_{2}}{，}{O}}$$为坐标原点，若$$S_{\triangle O M F_{2}}=1 6$$，则$${{a}{=}{（}}$$）
C
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{4}}$$
9、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$所对边分别为$${{a}{、}{b}{、}{c}{，}{{s}{i}{n}}{A}{+}{{s}{i}{n}}{B}{−}{4}{{s}{i}{n}}{C}{=}{0}}$$，且$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的周长$${{L}{=}{5}}$$，面积$$S=\frac{1 6} {5}-\frac{1} {5} \big( a^{2}+b^{2} \big)$$，则$$\frac{a^{2}+b^{2}} {a \operatorname{s i n} A+b \operatorname{s i n} B}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
已知面积公式为 $$S = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \right)^2 \right]}$$，代入 $$S = \frac{1}{2}$$ 和 $$a^2 + c^2 - b^2 = \frac{1}{4}$$，化简得：
$$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{1/4}{2} \right)^2 \right]}$$
平方后得 $$a^2 c^2 - \frac{1}{64} = 1$$，即 $$a^2 c^2 = \frac{65}{64}$$。
由余弦定理 $$b^2 = a^2 + c^2 - \frac{1}{4}$$，结合周长最小化条件，利用不等式可得最小周长为 $$12$$，故选 A。
3. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3}$$，故 $$F_1 = (-\sqrt{3}, 0)$$，$$F_2 = (\sqrt{3}, 0)$$。
由椭圆性质 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 6$$，已知 $$|PF_1| = 4$$，则 $$|PF_2| = 2$$。
利用余弦定理求角：
$$\cos \theta = \frac{4^2 + 2^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \times 4 \times 2} = \frac{16 + 4 - 12}{16} = \frac{1}{2}$$
故 $$\theta = 60^\circ$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \sin 60^\circ = 2\sqrt{3}$$，选 A。
4. 解析：
在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$A = 90^\circ$$，$$b = 3$$，$$c = 4$$，故斜边 $$a = 5$$。
设点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC}$$ 两两夹角为 $$120^\circ$$，利用向量性质：
$$\overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + \overrightarrow{PC}^2 = \frac{3}{2} (PA^2 + PB^2 + PC^2) - \frac{1}{2} (PA \cdot PB + PB \cdot PC + PC \cdot PA)$$
通过坐标系计算可得结果为 $$25 - 4\sqrt{3}$$，选 B。
5. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{72} + \frac{y^2}{36} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{72 - 36} = 6$$。
由椭圆性质 $$|MF_1| + |MF_2| = 2a = 12\sqrt{2}$$，且夹角 $$\angle F_1 M F_2 = 60^\circ$$。
利用余弦定理：
$$|F_1 F_2|^2 = |MF_1|^2 + |MF_2|^2 - 2 |MF_1| |MF_2| \cos 60^\circ$$
结合面积公式得面积为 $$24\sqrt{3}$$，选 B。
6. 解析：
在 $$ABC$$ 中，$$c = 2$$，$$B = \frac{\pi}{3}$$，$$D$$ 为 $$AC$$ 中点，$$|BD| = \sqrt{3}$$。
利用中线公式：
$$BD^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}$$
设 $$AB = x$$，$$BC = y$$，结合余弦定理 $$AC^2 = x^2 + y^2 - xy$$，解得 $$xy = 4$$。
面积为 $$\frac{1}{2} xy \sin B = \sqrt{3}$$，选 D。
7. 解析：
已知 $$c^2 + 2ab = a^2 + b^2 + 6$$ 且 $$C = \frac{2\pi}{3}$$。
由余弦定理 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = a^2 + b^2 + ab$$，代入得 $$ab = 6$$。
面积为 $$\frac{1}{2} ab \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$，选 B。
8. 解析：
双曲线离心率 $$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，故 $$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，即 $$c = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$。
渐近线方程为 $$y = \frac{b}{a}x$$，设 $$M$$ 在渐近线上，坐标为 $$(x, \frac{b}{a}x)$$。
由 $$OM \perp MF_2$$，利用向量点积为零得 $$x^2 + \frac{b}{a}x \cdot \left( \frac{b}{a}x - 0 \right) = 0$$，解得 $$x = \frac{a^2}{b}$$。
面积为 $$\frac{1}{2} |OM| \cdot |MF_2| = 16$$，代入得 $$a = 4$$，选 D。
9. 解析：
由 $$\sin A + \sin B - 4 \sin C = 0$$，利用正弦定理得 $$a + b - 4c = 0$$。
周长 $$L = a + b + c = 5$$，解得 $$c = 1$$，$$a + b = 4$$。
面积公式 $$S = \frac{16}{5} - \frac{1}{5}(a^2 + b^2)$$，结合海伦公式化简得 $$a^2 + b^2 = 5$$。
所求表达式为 $$\frac{a^2 + b^2}{a \sin A + b \sin B} = \frac{5}{4}$$，选 A。