向量与其他知识的综合应用-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶单选题自测题解析-安徽省等高二数学必修,平均正确率42.00000000000001%

第一题：在三角形$$ABC$$中，已知$$AB=3$$，$$AC=2$$，$$\angle BAC=60^\circ$$，$$M$$是$$BC$$的中点，$$N$$在直线$$AM$$上且$$BN \perp AM$$。求向量$$\overrightarrow{BN}$$在向量$$\overrightarrow{AC}$$上的投影。

1. 建立坐标系：设点$$A$$为原点，$$\overrightarrow{AB}$$沿$$x$$轴正方向，则$$\overrightarrow{AB}=(3,0)$$，$$\overrightarrow{AC}=(2\cos60^\circ,2\sin60^\circ)=(1,\sqrt{3})$$。

2. 计算点坐标：$$B(3,0)$$，$$C(1,\sqrt{3})$$，中点$$M\left(\frac{3+1}{2},\frac{0+\sqrt{3}}{2}\right)=(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$$。

3. 直线$$AM$$方向向量为$$\overrightarrow{AM}=(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$$，设$$N$$在$$AM$$上，参数表示为$$N(2t,\frac{\sqrt{3}}{2}t)$$。

4. 由$$BN \perp AM$$得$$\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM}=0$$，其中$$\overrightarrow{BN}=(2t-3,\frac{\sqrt{3}}{2}t-0)$$，代入点积： $$(2t-3)\cdot 2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0$$ 化简：$$4t-6 + \frac{3}{4}t=0 \Rightarrow \frac{19}{4}t=6 \Rightarrow t=\frac{24}{19}$$。

5. 因此$$\overrightarrow{BN}=\left(2\cdot\frac{24}{19}-3, \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{24}{19}\right)=\left(\frac{48}{19}-\frac{57}{19}, \frac{12\sqrt{3}}{19}\right)=\left(-\frac{9}{19}, \frac{12\sqrt{3}}{19}\right)$$。

6. 投影计算：$$\text{proj}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{BN}=\frac{\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\cdot\overrightarrow{AC}$$，其中$$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3})$$，模长$$|\overrightarrow{AC}|^2=1^2+(\sqrt{3})^2=4$$。

7. 点积：$$\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{9}{19}\right)\cdot1 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{19}\right)\cdot\sqrt{3}=-\frac{9}{19}+\frac{36}{19}=\frac{27}{19}$$。

8. 投影标量值为$$\frac{\frac{27}{19}}{4}=\frac{27}{76}$$，但注意方向：$$\overrightarrow{AC}$$方向投影分量为$$\frac{27}{76}$$，但选项为负值，检查向量方向：$$\overrightarrow{BN}$$与$$\overrightarrow{AC}$$点积为正，但$$\overrightarrow{BN}$$在$$\overrightarrow{AC}$$反向分量？实际上投影值$$\frac{27}{76}$$未匹配选项，重新审题：投影为标量，可能带符号。

9. 发现错误：投影计算应为$$\frac{\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{27/19}{2}=\frac{27}{38}$$，但为正值，而选项B和C为负。检查几何：$$BN \perp AM$$，可能$$N$$在$$A$$另一侧，使投影为负。当$$t=\frac{24}{19}>1$$，$$N$$在$$AM$$延长线上，$$\overrightarrow{BN}$$与$$\overrightarrow{AC}$$夹角可能钝角？计算夹角余弦：$$\cos\theta=\frac{27/19}{|\overrightarrow{BN}|\cdot2}$$，但非直接。实际上投影标量可负。

10. 直接得投影值：$$\frac{\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{27/19}{2}=\frac{27}{38}$$，但为正值，而选项B为$$-\frac{27}{38}$$。可能我设$$N$$参数方向反了？设$$N$$为$$A + \lambda \overrightarrow{AM}$$，则$$\overrightarrow{BN} = \lambda \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}$$。由垂直$$\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AM}=0$$得$$\lambda |\overrightarrow{AM}|^2 - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=0$$，计算$$\overrightarrow{AM}=(2,\sqrt{3}/2)$$，模平方$$4+3/4=19/4$$，$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=3*2+0*\sqrt{3}/2=6$$，所以$$\lambda \cdot \frac{19}{4}=6$$，$$\lambda=\frac{24}{19}$$，同上。那么投影为何负？注意$$\overrightarrow{AC}$$方向，可能$$\overrightarrow{BN}$$在$$\overrightarrow{AC}$$反向分量。

11. 实则投影值$$\frac{27}{38}$$为正值，但选项B为负，可能答案D？但D为$$\frac{27}{38}$$。检查选项：A$$\frac{27}{19}$$, B$$-\frac{27}{38}$$, C$$-\frac{27}{19}$$, D$$\frac{27}{38}$$。故选D。

12. 因此答案为$$\frac{27}{38}$$。

第三题：点$$P(\sqrt{3},1)$$，向量$$\overrightarrow{OP}$$绕原点逆时针旋转$$\frac{\pi}{2}$$后得$$\overrightarrow{OQ}$$，求$$Q$$坐标。

1. 旋转矩阵：$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$，$$\theta=\frac{\pi}{2}$$时矩阵为$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$。

2. 应用：$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$。

3. 因此$$Q(-1,\sqrt{3})$$，对应选项D。

第四题：在$$\triangle ABC$$中，$$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$$，且对$$AB$$上任意点$$N$$，恒有$$\overrightarrow{NB}\cdot\overrightarrow{NC} \geq \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}$$，求结论。

1. 设$$A$$为原点，$$\overrightarrow{AB}$$为$$x$$轴，设$$B(1,0)$$（可缩放），则$$M$$在$$AB$$上，$$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$$意味$$M$$离$$B$$为$$1/4$$，即$$M$$坐标$$(3/4,0)$$。

2. 设$$C(a,b)$$，则$$\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{B-M}\cdot\overrightarrow{C-M}$$。计算$$B-M=(1-3/4,0-0)=(1/4,0)$$，$$C-M=(a-3/4,b-0)$$，点积$$(1/4)(a-3/4)+0*b=\frac{1}{4}(a-3/4)$$。

3. 对任意$$N$$在$$AB$$上，设$$N(x,0)$$，则$$\overrightarrow{NB}=(1-x,0)$$，$$\overrightarrow{NC}=(a-x,b)$$，点积$$(1-x)(a-x)+0*b=(1-x)(a-x)$$。

4. 不等式：$$(1-x)(a-x) \geq \frac{1}{4}(a-3/4)$$对所有$$x\in[0,1]$$成立。

5. 左边为二次函数$$f(x)=(1-x)(a-x)=x^2 - (a+1)x + a$$，开口向上，最小值在顶点$$x=\frac{a+1}{2}$$。

6. 为使不等式恒成立，需最小值$$\geq$$右边常数。尤其$$x=3/4$$时等号成立（因$$N=M$$时取等），故顶点应在$$x=3/4$$，即$$\frac{a+1}{2}=\frac{3}{4}$$，解得$$a=1/2$$。

7. 代入$$a=1/2$$，右边常数$$\frac{1}{4}(1/2-3/4)=\frac{1}{4}(-1/4)=-1/16$$。

8. 验证$$f(x)$$最小值：$$f(3/4)=(1-3/4)(1/2-3/4)=(1/4)(-1/4)=-1/16$$，符合。

9. 因此$$C(1/2,b)$$，$$b$$任意。此时$$AB$$为从$$(0,0)$$到$$(1,0)$$，$$AC$$为到$$(1/2,b)$$，$$BC$$为到$$(1/2-1,b-0)=(-1/2,b)$$。无垂直关系，但$$AB=1$$，$$AC=\sqrt{(1/2)^2+b^2}$$，$$BC=\sqrt{(1/2)^2+b^2}$$，所以$$AC=BC$$。

10. 故答案D：$$AC=BC$$。

第五题：平面四边形$$ABCD$$，$$\triangle ACD$$面积是$$\triangle ABC$$的2倍，数列满足$$a_1=3$$且$$\overrightarrow{CA}=(a_{n+1}-3)\overrightarrow{CB}+(a_n-2)\overrightarrow{CD}$$，求$$a_5$$。

1. 向量关系：$$\overrightarrow{CA}$$用$$\overrightarrow{CB}$$和$$\overrightarrow{CD}$$线性表示，系数与数列相关。

2. 面积条件：$$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=2$$。注意点顺序：$$A,B,C,D$$，$$\triangle ABC$$和$$\triangle ACD$$共享边$$AC$$？

3. 设$$\overrightarrow{CB}=\vec{u}$$，$$\overrightarrow{CD}=\vec{v}$$，则$$\overrightarrow{CA}=p\vec{u}+q\vec{v}$$，其中$$p=a_{n+1}-3$$, $$q=a_n-2$$。

4. 面积比：$$\triangle ABC$$面积$$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}|=\frac{1}{2}|(p\vec{u}+q\vec{v})\times\vec{u}|=\frac{1}{2}|q(\vec{v}\times\vec{u})|=\frac{1}{2}|q||\vec{u}\times\vec{v}|$$。

5. $$\triangle ACD$$面积$$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CD}|=\frac{1}{2}|(p\vec{u}+q\vec{v})\times\vec{v}|=\frac{1}{2}|p(\vec{u}\times\vec{v})|=\frac{1}{2}|p||\vec{u}\times\vec{v}|$$。

6. 比例：$$\frac{|p|}{|q|}=2$$，即$$|a_{n+1}-3|=2|a_n-2|$$。

7. 由$$a_1=3$$，则$$a_1-2=1>0$$，假设$$a_n-2>0$$，则$$a_{n+1}-3=2(a_n-2)$$，即$$a_{n+1}=2a_n-1$$。

8. 迭代：$$a_2=2*3-1=5$$，$$a_3=2*5-1=9$$，$$a_4=2*9-1=17$$，$$a_5=2*17-1=33$$。

9. 故答案B：33。

第六题：已知单位向量$$\vec{a},\vec{b}$$且$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$，向量$$\vec{c}$$满足$$|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$$，求$$|\vec{c}|$$取值范围。

1. 设$$\vec{a}=(1,0)$$，$$\vec{b}=(0,1)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(1,1)$$，模$$\sqrt{2}$$。

2. 条件$$|\vec{c}-(1,1)|=1$$，即$$\vec{c}$$在以$$(1,1)$$为心、半径1的圆上。

3. $$|\vec{c}|$$为原点到圆上点距离，范围$$[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1]$$。

4. 故答案A：$$[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1]$$。

第七题：双曲线$$E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$，左右焦点$$F_1(-c,0)$$, $$F_2(c,0)$$，过$$F_1$$直线与渐近线交于$$A,B$$，且$$\overrightarrow{F_1B}=2\overrightarrow{F_1A}$$，$$|F_1F_2|=2|OB|$$，求离心率$$e$$。

1. 渐近线方程$$y=\pm\frac{b}{a}x$$。

2. 设过$$F_1$$直线参数方程：$$x=-c+t\cos\theta$$, $$y=0+t\sin\theta$$。

3. 与渐近线$$y=\frac{b}{a}x$$交于点$$A$$，代入得$$t\sin\theta=\frac{b}{a}(-c+t\cos\theta)$$，解得$$t_A$$。

4. 类似与$$y=-\frac{b}{a}x$$交$$B$$得$$t_B$$。

5. 由$$\overrightarrow{F_1B}=2\overrightarrow{F_1A}$$，即$$t_B=2t_A$$（同方向）。

6. 条件$$|F_1F_2|=2c=2|OB|$$，所以$$|OB|=c$$。

7. 通过计算可得关系（过程略），最终得$$e=\sqrt{3}$$。

8. 故答案B：$$\sqrt{3}$$。

第八题：向量$$\overrightarrow{OA}=(1,-2)$$，$$\overrightarrow{OB}=(a,-1)$$，$$\overrightarrow{OC}=(-b,0)$$，$$a>0,b>0$$，$$A,B,C$$共线，求$$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$$最小值。

1. 共线条件：$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(a-1,1)$$，$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-b-1,2)$$，存在$$\lambda$$使$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$$。

2. 即$$-b-1=\lambda(a-1)$$，$$2=\lambda \cdot 1$$，所以$$\lambda=2$$。

3. 代入第一式：$$-b-1=2(a-1)$$，即$$-b-1=2a-2$$，整理得$$2a+b=1$$。

4. 求$$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$$最小值，约束$$2a+b=1$$，$$a>0,b>0$$。

5. 代入$$b=1-2a$$，需$$1-2a>0$$即$$a<1/2$$。

6. 函数$$f(a)=\frac{1}{a}+\frac{2}{1-2a}$$，求导找最小值。

7. 或用柯西：$$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(2a+b)=2 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} + 2 \geq 4 + 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{4a}{b}}=4+2*2=8$$。

8. 等号当$$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$$即$$b=2a$$，结合$$2a+b=1$$得$$a=1/4$$, $$b=1/2$$。

9. 故最小值8，答案C。