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正确率40.0%下列结论中，正确的个数是$${{(}{)}}$$．
$${①}$$若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是不共线的向量，且$$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$$与$${{3}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$共线，则$$\lambda=-\frac{1} {3} ;$$
$${②}$$若锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\operatorname{c o s} \， \alpha> \operatorname{s i n} \， \beta，$$则$$\alpha+\beta< \frac{\pi} {2} ;$$
$${③}$$要得到函数$$y=\operatorname{s i n} ( \frac{x} {2}-\frac{\pi} {4} )$$的图象，只需将$$y=\operatorname{s i n} {\frac{x} {2}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位；
$${④}$$若$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，$$a， b， c$$分别是角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，若$$a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+\frac{\sqrt{3}} {3} c \cdot\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$$，则角$${{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$；
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['直线的两点式方程'， '三角形的“四心”'， '判断三角形的形状']正确率60.0%数学家欧拉在$${{1}{7}{6}{5}}$$年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的顶点为$$A ( 0， ~ 2 )， ~ B (-1， ~ 0 )， ~ C ( 4， ~ 0 )，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的欧拉线方程为（）
C
A.$$4 x-3 y-6=0$$
B.$$3 x+4 y+3=0$$
C.$$4 x+3 y-6=0$$
D.$$3 x+4 y-3=0$$
3、['用空间向量研究点到直线的距离'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%在四面体$${{O}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B} \cdot\overrightarrow{O C}=0$$，$$| \overrightarrow{O C} |=\frac{3} {2} | \overrightarrow{O B} |=3 | \overrightarrow{O A} |=3， \overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{D C}$$，若点$${{G}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则点$${{G}}$$到直线$${{B}{D}}$$的距离为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
4、['三角形的“四心”']正确率40.0%已知$${{O}}$$是平面上一定点$$， ~ A， ~ B， ~ C$$是平面上不共线的三个点，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} | \cos B}+\frac{\overrightarrow{A C}} {\overrightarrow{| A C} | \cos C} \right) \cdot\; \lambda\in{\bf R}.$$则动点$${{P}}$$的轨迹一定经过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
D
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
5、['三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%设点$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{A G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$则实数$${{λ}{=}{（}}$$）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量垂直']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot\overrightarrow{O A}，$$那么点$${{O}}$$是$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
D
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
7、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '三角形的“四心”'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上的动点，则$${{△}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{P}}$$的重心$${{G}}$$的轨迹方程为（）
A
A.$$\frac{9 x^{2}} {1 6}-y^{2}=1 ( y \neq0 )$$
B.$$\frac{9 y^{2}} {1 6}-x^{2}=1 ( y \neq0 )$$
C.$$\frac{9 x^{2}} {1 6}+y^{2}=1 ( y \neq0 )$$
D.$$\frac{9 y^{2}} {1 6}+x^{2}=1 ( y \neq0 )$$
8、['正弦定理及其应用'， '平面向量的概念'， '三角形的“四心”'， '充分、必要条件的判定'， '向量垂直'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%下列命题中：
$${{(}{1}{)}}$$零向量是长度为$${{0}}$$，无方向的向量；
$${{(}{2}{)}}$$数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=A q^{n}+B ( q \neq0， A \neq0 )$$，若$$A+B=0$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列；
$${{(}{3}{)}}$$设$$\lambda\in( 0， ~+\infty)，$$则向量$$\overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}} {2}+\lambda( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} | \mathrm{c o s} B}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} | \mathrm{c o s} C} )$$必通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心；
$${{(}{4}{)}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{s i n} B$$是$${{A}{>}{B}}$$的充分不必要条件；
其中真命题有（）个
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的“四心”']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$是椭圆上异于顶点的任意一点，$${{K}}$$点是$${{Δ}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$内切圆的圆心，过$${{F}_{1}}$$作$$F_{1} M \perp P K$$于$${{M}{，}{O}}$$是坐标原点，则$${{|}{O}{M}{|}}$$的取值范围为（）
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 0， \sqrt2 )$$
C.$$( 0， \sqrt{3} )$$
D.$$( 0， 2 \sqrt{3} )$$
10、['三角形的“四心”'， '点到平面的距离'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率40.0%设三棱锥$$P-A B C$$的顶点$${{P}}$$在底面$${{A}{B}{C}}$$内的射影为$${{O}{(}}$$即过$${{P}}$$作$${{P}{O}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}}$$，交底面$${{A}{B}{C}}$$于$${{O}{)}}$$，且到三个侧面的距离相等，则$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.外心
B.垂心
C.内心
D.重心
1. 解析：
② 锐角 $$\alpha, \beta$$ 满足 $$\cos \alpha > \sin \beta$$，即 $$\cos \alpha > \cos \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)$$，因余弦函数在 $$(0, \frac{\pi}{2})$$ 递减，故 $$\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta$$，即 $$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$$，正确。
③ 平移应为 $$\frac{\pi}{2}$$ 个单位，错误。
④ 重心性质结合向量关系及余弦定理可推得 $$A = 30^\circ$$，正确。
综上，正确结论有 3 个，选 B。
2. 解析：
再求重心：$$G \left( \frac{0-1+4}{3}, \frac{2+0+0}{3} \right) = (1, \frac{2}{3})$$。
欧拉线为外心与重心的连线，斜率为 $$\frac{\frac{2}{3} - (-4)}{1 - (-0.5)} = \frac{14/3}{3/2} = \frac{28}{9}$$，方程为 $$y + 4 = \frac{28}{9}(x + 0.5)$$，化简得 $$4x - 3y - 6 = 0$$，选 A。
3. 解析：
由 $$\overrightarrow{OD} = 2 \overrightarrow{DC}$$ 得 $$D(0,0,2)$$。
重心 $$G \left( \frac{1+0+0}{3}, \frac{0+2+0}{3}, \frac{0+0+3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$$。
直线 BD 方向向量 $$\overrightarrow{BD} = (0, -2, 2)$$，点 $$G$$ 到 BD 的距离为 $$\frac{|\overrightarrow{BG} \times \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 C。
4. 解析：
5. 解析：
6. 解析：
7. 解析：
设 P 为 $$(4 \sec \theta, 3 \tan \theta)$$，重心 $$G(x,y)$$ 满足 $$x = \frac{-5 + 5 + 4 \sec \theta}{3}$$，$$y = \frac{0 + 0 + 3 \tan \theta}{3}$$，消去参数得 $$\frac{9x^2}{16} - y^2 = 1$$，选 A。
8. 解析：
9. 解析：
内切圆圆心 K 在角平分线上，由几何性质得 OM 为 PK 中垂线，长度范围为 $$(0,1)$$，选 A。
10. 解析：