解三角形中的最值（范围）问题-平面向量的拓展与综合知识点考前进阶自测题解析-辽宁省等高二数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$A. ~ B. ~ C$$成等差数列，$${{b}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的取值范围（）

A.$$( 0， \frac{3} {4} ]$$

B.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{3 \sqrt{3}} {4} ]$$

C.$$( \frac{1} {4}， \frac{3 \sqrt{3}} {4} ]$$

D.$$[ \frac{\sqrt{3}} {4}， \frac{1} {2} ]$$

2、['辅助角公式'， '三角形的面积（公式）'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%如图，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{c o s} \angle B A C=\frac1 4$$，点$${{D}}$$在线段$${{B}{C}}$$上，且$$B D=3 D C， \; \; A D=\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的最大值为（）

A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${\sqrt {{1}{5}}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

3、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）'， '三角函数中的数学文化'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作$${《}$$数书九章$${》}$$中叙述了已知三角形的三条边长$$a， ~ b， ~ c$$，求三角形面积的方法．其求法是：$${{“}}$$以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．$${{”}}$$若把以上这段文字写成公式，即为$${{S}{=}}$$$$\sqrt{\frac{1} {4} [ a^{2} c^{2}-( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}} {2} )^{2} ]}$$.已知$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$的三条边长为$$a， ~ b， ~ c$$，其面积为$${{1}{2}}$$，且$$a^{2}+c^{2}-b^{2}=1 4$$，则$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$周长的最小值为（）

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{1}{8}}$$

4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}}$$、$${{b}}$$、$${{c}}$$分别是角$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$所对的边，已知$$\frac{2 a-c} {6}=\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{c o s} B}$$且$${{b}{=}{6}}$$，则锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 4 \sqrt{3} )$$

B.$$( 4 \sqrt{3}， 9 \sqrt{3} ]$$

C.$$( 6 \sqrt{3}， 9 \sqrt{3} ]$$

D.$$( 0， 6 \sqrt{3} ]$$

5、['正弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%设锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$a=2， \， \， \， B=2 A，$$则$${{b}}$$的取值范围是（）

A.$$( \sqrt{2}， \ 2 )$$

B.$$( \sqrt{2}， ~ \sqrt{3} )$$

C.$$( 2 \sqrt{2}， ~ 2 \sqrt{3} )$$

D.$$( 0， \ 2 )$$

6、['解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%设锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$\mathrm{c o s} B+\sqrt{3} \mathrm{s i n} B=2， \， \， \， c=2，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的取值范围为（）

A.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 4 \sqrt{3} \right)$$

B.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{3} \right)$$

C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {4}， ~ \sqrt{3} \right)$$

D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {8}， \ \frac{\sqrt{3}} {4} \right)$$

7、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，$${{c}{=}{2}{，}}$$$$\operatorname{s i n}^{2} A+\operatorname{s i n}^{2} B=\operatorname{s i n} A \mathrm{s i n} B+\operatorname{s i n}^{2} C，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

8、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%在$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$${{B}{C}}$$边上的高为$$\frac1 2 a，$$则$$\frac{b} {c}$$的最大值为（）

A.$$\sqrt{2}+1$$

B.$$\sqrt{2}-1$$

C.$$\sqrt3+1$$

D.$$\sqrt3-1$$

9、['解三角形中的最值（范围）问题'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆$${{O}}$$的半径为$$5， ~ A B=6$$，若$$\overrightarrow{C H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}，$$则$$| \overrightarrow{O H} |$$的最小值是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

10、['余弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$a=7， \， \， b=4 \sqrt{3}， \， \， \， c=\sqrt{1 3}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的最小角为$${{(}{)}}$$

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {1 2}$$

D.$$\frac{\pi} {4}$$

1. 由于角$$A, B, C$$成等差数列，设$$B = \frac{\pi}{3}$$。由正弦定理，$$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{2 \sin A}{\sqrt{3}}$$，$$c = \frac{2 \sin C}{\sqrt{3}}$$。面积$$S = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{\sin A \sin C}{\sqrt{3}}$$。由于$$A + C = \frac{2\pi}{3}$$，且$$A, C$$为锐角，$$A \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right)$$。通过三角恒等变换，$$S = \frac{\sin A \sin \left( \frac{2\pi}{3} - A \right)}{\sqrt{3}}$$，其取值范围为$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{4} \right]$$。故选B。

2. 设$$BD = 3x$$，$$DC = x$$，则$$BC = 4x$$。由余弦定理，$$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \theta$$，$$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos (\pi - \theta)$$。代入已知条件并化简，利用面积公式$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$$，可得最大值为$$4$$。故选B。

3. 根据秦九韶公式和已知条件，$$S = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{14}{2} \right)^2 \right]}$$，解得$$a^2 c^2 = 225$$，即$$ac = 15$$。由余弦定理，$$a^2 + c^2 - b^2 = 14$$，结合$$(a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = 14 + b^2 + 30$$。为最小化周长$$a + b + c$$，需最小化$$b$$。设$$a = c$$，得$$b = \sqrt{16} = 4$$，此时周长为$$12$$。故选A。

4. 由正弦定理和已知比例关系，化简得$$\frac{2 \sin A - \sin C}{6} = \frac{\cos C}{\cos B}$$。利用三角恒等变换和锐角条件，求得角$$B = \frac{\pi}{3}$$。面积$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B$$，结合边长约束可得取值范围为$$(6\sqrt{3}, 9\sqrt{3}]$$。故选C。

5. 由正弦定理，$$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$$，即$$b = 2 \cdot \frac{\sin 2A}{\sin A} = 4 \cos A$$。由于$$B = 2A$$且为锐角三角形，$$A \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} \right)$$，故$$\cos A \in \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$，$$b \in (\sqrt{2}, \sqrt{3})$$。故选B。

6. 由方程$$\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$$，化简得$$\sin \left( B + \frac{\pi}{6} \right) = 1$$，故$$B = \frac{\pi}{3}$$。面积$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2 \cdot \sin C$$，结合正弦定理和锐角条件，可得$$S \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} \right)$$。故选B。

7. 由正弦定理和已知条件，化简得$$a^2 + b^2 - a b = c^2$$。由余弦定理，$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{2}$$，故$$C = \frac{\pi}{3}$$。面积$$S = \frac{1}{2} a b \sin C$$，由不等式约束，最大值为$$\sqrt{3}$$。故选C。

8. 设高$$h = \frac{1}{2}a$$，由面积关系得$$\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{2}$$，即$$b c = \frac{a^2}{2 \sin A}$$。由余弦定理和正弦定理，$$\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \leq 2 \sqrt{2}$$，故$$\frac{b}{c} \leq \sqrt{2} + 1$$。故选A。

9. 由向量条件，$$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$$，即$$H$$为$$AB$$中点。$$|OH| = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$。故选B。

10. 由边长$$a = 7$$，$$b = 4\sqrt{3}$$，$$c = \sqrt{13}$$，最小角对应最短边$$c$$。由余弦定理，$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故$$C = \frac{\pi}{6}$$。故选A。

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