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正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$分别为内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边，且满足$$b=c， \， \， \， \frac{b} {a}=\frac{1-\operatorname{c o s} B} {\operatorname{c o s} A}$$，若点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$外一点，$$\angle A O B=\theta~ ( 0 < \theta< \pi) ~， ~ O A=2， ~ O B=1$$，则平面四边形$${{O}{A}{C}{B}}$$面积的最大值是（）
B
A.$$\frac{4+5 \sqrt{3}} {4}$$
B.$$\frac{8+5 \sqrt{3}} {4}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\frac{4+\sqrt{5}} {2}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$分别是三内角$$A. ~ B. ~ C$$的对边，且$$a=4， \; b+c=5， \; \; \operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} B+\sqrt{3}=\sqrt{3} \operatorname{t a n} A \cdot\operatorname{t a n} B$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$${{b}{=}{1}{，}}$$$$a ~ ( \ 2 \operatorname{s i n} B-\sqrt{3} \operatorname{c o s} C ) ~=\sqrt{3} c \operatorname{c o s} A$$，点$${{D}}$$是边$${{B}{C}}$$的中点，且$$A D=\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$或$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$或$${\sqrt {3}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$所对边的长分别为$$a， b， c$$，若$$a=\sqrt{3}， \， \， \， A=\frac{\pi} {3}$$，则面积$$S_{\Delta A B C}$$的最大值为（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$
5、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$$\frac{2 a} {b \operatorname{s i n} A}=3， \， \， a^{2}+c^{2}=4，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {6}$$
6、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '向量垂直'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点，$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上一点，且$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{9}}$$，则$${{b}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值']正确率19.999999999999996%已知$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内的一点（不含边界），且$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=2 \sqrt{3}， \， \， \， \angle B A C=3 0^{\circ}$$若$$\triangle P B C， \， \， \triangle P A B， \， \， \triangle P C A$$的面积分别为$$x， ~ y， ~ z$$，记$$h^{\textsc{} {(} x， \textit{y}， \ z )}=\frac{1} {x}+\frac{4} {y}+\frac{9} {z}$$，则$$h \emph{( x， y， z )}$$的最小值为（）
C
A.$${{2}{6}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{4}{8}}$$
8、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=4， \， \， \， C={\frac{\pi} {3}}， \， \， \， S_{\Delta A B C}=4 \sqrt{3}$$，则$${{A}{C}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
9、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2 4}=1$$的两个焦点为$$F_{1}， F_{2}， P$$为双曲线右支上一点，若$$| P F_{1} |=\frac{4} {3} | P F_{2} |$$，则$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
B
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{6}}$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%若抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，抛物线的准线与$${{x}}$$轴相交于一点$${{K}{，}{P}}$$为抛物线上一点且$$\angle K F P=\frac{2 \pi} {3}$$，则$${{△}{K}{F}{P}}$$的面积为（）
C
A.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{4} {3} \sqrt{3}$$或$${{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 解析：
由题意，$$b = c$$，即 $$△ABC$$ 为等腰三角形。根据余弦定理和正弦定理，结合 $$\frac{b}{a} = \frac{1 - \cos B}{\cos A}$$，可以推导出角 $$A$$ 和角 $$B$$ 的关系。进一步利用向量法和三角形面积公式，求出四边形 $$OACB$$ 的面积表达式，并通过求导或三角函数的性质确定其最大值。最终答案为 $$\frac{8 + 5\sqrt{3}}{4}$$，即选项 B。
2. 解析：
由 $$\tan A + \tan B + \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan A \tan B$$，可以推导出 $$\tan(A + B) = -\sqrt{3}$$，从而得到角 $$C = \frac{\pi}{3}$$。利用余弦定理和已知条件 $$a = 4$$，$$b + c = 5$$，可以求出 $$b$$ 和 $$c$$ 的值，进而计算面积。最终面积为 $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$，即选项 C。
3. 解析：
由 $$a(2 \sin B - \sqrt{3} \cos C) = \sqrt{3} c \cos A$$，利用正弦定理和余弦定理，可以推导出角 $$B$$ 和角 $$C$$ 的关系。结合点 $$D$$ 为 $$BC$$ 的中点，利用中线公式求出边长，进而计算面积。最终面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 或 $$\sqrt{3}$$，即选项 B 或 C。
4. 解析：
已知 $$a = \sqrt{3}$$，$$A = \frac{\pi}{3}$$，利用正弦定理和面积公式，可以推导出面积的最大值。当三角形为等边三角形时，面积最大，为 $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$，即选项 D。
5. 解析：
由 $$\frac{2a}{b \sin A} = 3$$，利用正弦定理可以推导出 $$b$$ 和角 $$B$$ 的关系。结合 $$a^2 + c^2 = 4$$，利用余弦定理和面积公式，可以求出面积的最大值为 $$\frac{4}{3}$$，即选项 A。
6. 解析：
由 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，可知 $$PF_1 \perp PF_2$$。利用椭圆的性质和勾股定理，可以推导出 $$b$$ 的值。最终 $$b = 3$$，即选项 C。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2\sqrt{3}$$ 和 $$\angle BAC = 30^\circ$$，可以求出 $$AB \cdot AC = 4$$。利用面积关系和柯西不等式，可以求出 $$h(x, y, z)$$ 的最小值为 36，即选项 C。
8. 解析：
已知 $$AB = 4$$，$$C = \frac{\pi}{3}$$，$$S_{\triangle ABC} = 4\sqrt{3}$$，利用面积公式可以求出 $$AC$$ 的长度。最终 $$AC = 4$$，即选项 C。
9. 解析：
由双曲线的性质，结合 $$|PF_1| = \frac{4}{3}|PF_2|$$，可以求出 $$|PF_1|$$ 和 $$|PF_2|$$ 的具体值。利用余弦定理和面积公式，可以求出 $$\triangle PF_1F_2$$ 的面积为 24，即选项 B。
10. 解析：
由抛物线 $$y^2 = 4x$$，可以确定焦点 $$F$$ 和准线 $$x = -1$$。利用向量法和三角函数的性质，可以求出 $$\triangle KFP$$ 的面积为 $$\frac{4}{3}\sqrt{3}$$ 或 $$2\sqrt{3}$$，即选项 D。