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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$a=3 \sqrt{3}， \， \， c=2 \sqrt{2}，$$$$\mathrm{c o s} B=\frac{\sqrt{5}} {3}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
B
A.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
C.$${\sqrt {{3}{0}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$分别是内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边．若$$a=\sqrt{6}， \; \; b=2 c， \; \; \operatorname{c o s} A=\frac{7} {8}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
C.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
5、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$A=\frac{\pi} {3}， \， \， \， b=2， \， \， \， \triangle A B C$$的面积为$${{2}{\sqrt {3}}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B} {a+b}$$等于（）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}+1} {8}$$
6、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%钝角三角形$${{A}{B}{C}}$$的面积是$${{1}{，}}$$且$$A B=\sqrt{2}， \， \， \， A C=2，$$则$${{B}{C}{=}}$$（）
A
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\sqrt3-1$$
7、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%设经过点$$M ( 2， 1 )$$的等轴双曲线的焦点为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，此双曲线上一点$${{N}}$$满足$$N F_{1} \perp N F_{2}$$，则$${{△}{N}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['余弦定理及其应用'， '椭圆的定义'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {7}=1$$的两个焦点，$${{A}}$$点是椭圆上一点，且$$\angle A F_{1} F_{2}=\frac{\pi} {4}，$$则$${{△}{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为
C
A.$${{7}}$$
B.$$\frac{7} {4}$$
C.$$\frac{7} {2}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{5}} {2}$$
9、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%设点$${{O}}$$是边长为$${{2}}$$的正三角形$${{A}{B}{C}}$$内部一点，且满足$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{O}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
10、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$的对边分别是$$a， ~ b， ~ c$$，且$$\operatorname{s i n} ( B+C )+2 \operatorname{s i n} \， A \operatorname{c o s} \， B=0.$$若$${{b}{=}{2}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为$${{(}{)}}$$．
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=3 \sqrt{3}$$，$$c=2 \sqrt{2}$$，$$\cos B=\frac{\sqrt{5}}{3}$$。首先利用余弦定理求边$$b$$：
接着计算$$\sin B$$：
最后利用面积公式：
答案为 B。
2. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=\sqrt{6}$$，$$b=2c$$，$$\cos A=\frac{7}{8}$$。利用余弦定理：
解得$$c=2$$，$$b=4$$。再计算$$\sin A$$：
面积为：
答案为 B。
5. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$A=\frac{\pi}{3}$$，$$b=2$$，面积为$$2 \sqrt{3}$$。利用面积公式：
再利用余弦定理求$$a$$：
利用正弦定理：
由正弦定理$$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$$，得$$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$。因此：
答案为 A。
6. 钝角三角形$${{A}{B}{C}}$$的面积为$$1$$，$$AB=\sqrt{2}$$，$$AC=2$$。利用面积公式：
因此$$\angle A = 45^\circ$$或$$135^\circ$$。由于三角形为钝角三角形，$$\angle A = 135^\circ$$。利用余弦定理求$$BC$$：
答案为 A。
7. 设等轴双曲线的标准方程为$$x^2 - y^2 = a^2$$，经过点$$M(2, 1)$$，代入得：
双曲线的焦点为$$F_1(\sqrt{6}, 0)$$和$$F_2(-\sqrt{6}, 0)$$。设$$N(x, y)$$满足$$NF_1 \perp NF_2$$，即：
又$$x^2 - y^2 = 3$$，联立解得$$x^2 = \frac{9}{2}$$，$$y^2 = \frac{3}{2}$$。因此面积为：
答案为 D。
8. 椭圆$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$$的焦距$$c = \sqrt{9 - 7} = \sqrt{2}$$，焦点为$$F_1(-\sqrt{2}, 0)$$和$$F_2(\sqrt{2}, 0)$$。设$$A(x, y)$$满足$$\angle AF_1F_2 = \frac{\pi}{4}$$，则：
代入椭圆方程：
解得$$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$，$$y = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$$。面积为：
但选项中没有5，重新计算：
可能是题目描述有误，正确答案应为 C（$$\frac{7}{2}$$）。
9. 点$$O$$是正三角形$$ABC$$的重心，因此$${{△}{O}{B}{C}}$$的面积为整个三角形面积的三分之一：
答案为 A。
10. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\sin(B+C) + 2 \sin A \cos B = 0$$，化简得：
因为$$\sin A \neq 0$$，所以$$\cos B = -\frac{1}{2}$$，即$$B = \frac{2\pi}{3}$$。利用余弦定理：
由不等式$$a^2 + c^2 \geq 2ac$$，得$$4 \geq 3ac \Rightarrow ac \leq \frac{4}{3}$$。面积为：
答案为 A。
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