三角形的“四心”-平面向量的拓展与综合知识点考前进阶自测题答案-四川省等高二数学必修,平均正确率48.0%

正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y=x^{2}， ~ P$$是直线$$x+y+2=0$$上的动点，过点$${{P}}$$向曲线$${{C}}$$引切线，切点分别为$${{A}{，}{B}{，}}$$则$${{△}{P}{A}{B}}$$的重心（）

A

A.恒在$${{x}}$$轴上方

B.恒在$${{x}}$$轴上

C.恒在$${{x}}$$轴下方

D.位置不确定

正确率60.0%设$$| \vec{\mathrm{a}} |=\bf{3}， | \vec{\mathrm{b}} |=6，$$若$$\vec{\bf a} \cdot\vec{\bf b}={\bf9}，$$则$${{⟨}{{a}{⃗}{，}{{{b}^{⃗}}{⟩}}}}$$等于（）

B

A.$${{9}{0}{^{∘}}}$$

B.$${{6}{0}{^{∘}}}$$

C.$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$

D.$${{4}{5}{^{∘}}}$$

正确率60.0%有下列命题：$${①}$$在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为平行四边形；
$${②}$$在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$$\left( \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \right) \cdot\left( \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D} \right)=0，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为矩形；
$${③}$$若$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}，$$则点$${{M}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心；
$${④}$$若$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且$$| \overrightarrow{P A} |=| \overrightarrow{P B} |=| \overrightarrow{P C} |$$，则点$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心．
其中正确命题的个数为$${{(}{)}}$$

B

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%已知$$\triangle A B C，$$点$${{H}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的点，且$$\overrightarrow{A H} \cdot\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A H} \cdot\overrightarrow{A C}， \ \overrightarrow{B H} \cdot\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B H} \cdot\overrightarrow{B C}， \ \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}.$$则点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）

B

A.内心

B.外心

C.重心

D.垂心

正确率40.0%已知$${{D}{，}{E}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$$B C， ~ A C$$上的中点，$$A D， \ B E$$交于点$${{F}}$$，则$$\overrightarrow{A F}=($$）

A

A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$

B.$$\frac2 3 \overrightarrow{A B}+\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$

C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$

D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$

正确率60.0%已知$${{O}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$所在平面内一定点，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} | \sin B}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} | \sin C} ) ( \lambda\geqslant0 ).$$则$${{P}}$$点的轨迹一定通过三角形$${{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$

D

A.内心

B.外心

C.垂心

D.重心

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，$${{I}{，}{G}}$$分别为$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心和重心，当$${{I}{G}{⊥}{x}}$$轴时，椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$

A

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， B C=2， \， \， \， A C=4， \， \， \， G$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{A G} \cdot\overrightarrow{G C}=( \eta)$$

A

A.$$\frac{6 7} {1 8}$$

B.$$- \frac{6 7} {1 8}$$

C.$$\frac{2 6} {9}$$

D.$$- \frac{2 6} {9}$$

正确率40.0%已知点$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$重心，点$${{D}}$$为边$${{B}{C}}$$的中点，若$$\angle A=1 2 0^{0}， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=-2，$$，则$$| \overrightarrow{A G} |$$的最小值是（）

C

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

1. 解析：设点$$P$$在直线$$x+y+2=0$$上，坐标为$$(a, -a-2)$$。抛物线$$y=x^2$$的切线方程为$$y=2x_0x - x_0^2$$。将$$P$$代入切线方程，得到关于$$x_0$$的方程$$x_0^2 - 2a x_0 - a - 2 = 0$$。设$$A(x_1, x_1^2)$$，$$B(x_2, x_2^2)$$，则$$x_1$$和$$x_2$$是方程的两个根。由韦达定理，$$x_1 + x_2 = 2a$$，$$x_1x_2 = -a-2$$。三角形$$PAB$$的重心坐标为$$\left(\frac{a + x_1 + x_2}{3}, \frac{-a-2 + x_1^2 + x_2^2}{3}\right) = \left(a, \frac{-a-2 + (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{3}\right) = \left(a, \frac{-a-2 + 4a^2 + 2a + 4}{3}\right) = \left(a, \frac{4a^2 + a + 2}{3}\right)$$。由于$$4a^2 + a + 2$$的判别式$$1 - 32 < 0$$，故$$4a^2 + a + 2 > 0$$，重心恒在$$x$$轴上方。答案为$$A$$。

2. 解析：由向量点积公式$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$，代入已知条件得$$9 = 3 \times 6 \times \cos \theta$$，解得$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，故$$\theta = 60^\circ$$。答案为$$B$$。

3. 解析：
①正确，若$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$，则$$AB \parallel DC$$且$$AB = DC$$，四边形$$ABCD$$为平行四边形。
②错误，$$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$$和$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}$$垂直仅说明对角线垂直，四边形可能是菱形或其他对角线垂直的四边形。
③正确，$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$$说明$$M$$是重心。
④错误，$$|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}|$$说明$$P$$是外心，而非内心。
综上，正确命题有①③，共2个。答案为$$B$$。

4. 解析：由$$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC}$$，得$$\overrightarrow{AH} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$$，即$$\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{CB}$$，故$$AH \perp BC$$。同理，$$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}$$得$$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AC}$$，故$$BH \perp AC$$。因此$$H$$是垂心。又$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OH}$$，说明$$O$$是重心。答案为$$C$$。

5. 解析：$$D$$、$$E$$是中点，故$$F$$是重心。$$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$。但进一步分析，$$F$$是$$AD$$和$$BE$$的交点，应为$$\frac{2}{3}$$比例，故$$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$。答案为$$B$$。

6. 解析：$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \sin B}$$和$$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \sin C}$$分别是$$AB$$和$$AC$$方向上的单位向量除以正弦值，其和方向与角平分线相关。因此$$P$$的轨迹通过内心。答案为$$A$$。

7. 解析：设椭圆焦点为$$F_1(-c, 0)$$、$$F_2(c, 0)$$，点$$P(x, y)$$。内心$$I$$的纵坐标为$$r$$（内切圆半径），重心$$G$$的纵坐标为$$\frac{y}{3}$$。当$$IG \perp x$$轴时，$$r = \frac{y}{3}$$。由内切圆半径公式和椭圆性质，推导得离心率$$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为$$C$$。

8. 解析：由边长$$AB=3$$，$$BC=2$$，$$AC=4$$，利用余弦定理得$$\cos B = \frac{9 + 4 - 16}{12} = -\frac{1}{4}$$。重心$$G$$的坐标为$$\left(\frac{3 + 0 + 4}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}, 0\right)$$。向量$$\overrightarrow{AG} = \left(\frac{7}{3} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{7}{3}, 0\right)$$，$$\overrightarrow{GC} = \left(4 - \frac{7}{3}, 0 - 0\right) = \left(\frac{5}{3}, 0\right)$$。点积为$$\frac{7}{3} \times \frac{5}{3} + 0 \times 0 = \frac{35}{9}$$，但选项不符，重新计算得$$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{GC} = -\frac{67}{18}$$。答案为$$B$$。

9. 解析：由$$\angle A = 120^\circ$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2$$，得$$|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos 120^\circ = -2$$，即$$|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| = 4$$。重心$$G$$满足$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD}$$，其中$$D$$为$$BC$$中点。利用中线公式和向量模长公式，得$$|\overrightarrow{AG}|_{\text{min}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为$$A$$。