三角形的“四心”-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶自测题答案-上海市等高二数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1. 题目解析：

已知点$$O$$是三角形$$ABC$$的内心，且$$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{9} \overrightarrow{AC}$$。我们需要求$$\cos \angle BAC$$。

内心性质表明，$$\overrightarrow{AO}$$可以表示为$$\overrightarrow{AO} = \frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{AC}$$。对比题目给出的表达式，有：

$$\frac{b}{a+b+c} = \frac{4}{9}, \quad \frac{c}{a+b+c} = \frac{1}{9}$$

解得$$b = 4k$$，$$c = k$$，$$a + b + c = 9k$$，因此$$a = 4k$$。

由余弦定理：

$$\cos \angle BAC = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{16k^2 + k^2 - 16k^2}{2 \times 4k \times k} = \frac{1}{8}$$

答案为$$C$$。

2. 题目解析：

动点$$P$$满足$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)$$。

向量$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$$和$$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$分别表示$$AB$$和$$AC$$方向的单位向量，它们的和指向角平分线方向。

因此，$$P$$点轨迹沿角平分线方向移动，一定通过三角形的内心。

答案为$$A$$。

3. 题目解析：

逐一分析各命题：

(1) 零向量长度为0，方向任意，因此“无方向”是错误的。

(2) 由$$S_n = Aq^n + B$$且$$A + B = 0$$，可得$$a_n = Aq^n - Aq^{n-1}$$，若$$q \neq 1$$，$$a_n$$是等比数列；若$$q = 1$$，$$a_n = 0$$，不是等比数列。因此命题不完全正确。

(3) 向量$$\overrightarrow{OP}$$的表达式中，$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \cos B}$$和$$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \cos C}$$分别表示高线方向，因此$$\overrightarrow{OP}$$通过外心。

(4) 在三角形中，$$\sin A > \sin B$$等价于$$A > B$$，是充要条件，因此命题错误。

只有(3)正确，答案为$$B$$。

4. 题目解析：

设$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{u}$$，$$\overrightarrow{AC} = \mathbf{v}$$，则$$\overrightarrow{AM} = \frac{\mathbf{u} + \mathbf{v}}{2}$$，$$\overrightarrow{BN} = \frac{\mathbf{v}}{2} - \mathbf{u}$$。

已知$$|\overrightarrow{AM}| = 2$$，$$|\overrightarrow{BN}| = 3$$，且夹角为$$120^\circ$$。

计算点积：

$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = \left( \frac{\mathbf{u} + \mathbf{v}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\mathbf{v}}{2} - \mathbf{u} \right) = \frac{1}{4} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} - \frac{1}{2} |\mathbf{u}|^2 + \frac{1}{4} |\mathbf{v}|^2 - \frac{1}{2} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$$

由$$|\overrightarrow{AM}| = 2$$得$$|\mathbf{u} + \mathbf{v}| = 4$$，$$|\mathbf{v} - 2\mathbf{u}| = 6$$。

设$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x$$，解得$$x = \frac{8}{9}$$。

答案为$$D$$。

5. 题目解析：

由$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$$，可得：

$$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = 0$$，即$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$$，说明$$OA \perp BC$$。

同理，$$OB \perp AC$$，$$OC \perp AB$$，因此$$O$$是垂心。

答案为$$C$$。

6. 题目解析：

动点$$P$$满足$$|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 + |OC|^2$$。

展开后可得：

$$3|P|^2 - 2P \cdot (A + B + C) + |A|^2 + |B|^2 + |C|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 + |OC|^2$$

化简得$$|P - G|^2$$为常数，其中$$G$$是重心。

因此圆心为重心，答案为$$C$$。

7. 题目解析：

设$$G$$为重心，$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD}$$。

由$$\angle A = 120^\circ$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2$$，得$$|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cos 120^\circ = -2$$，即$$|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| = 4$$。

利用中线公式：

$$|\overrightarrow{AD}|^2 = \frac{2|\overrightarrow{AB}|^2 + 2|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2}{4}$$

最小化$$|\overrightarrow{AG}| = \frac{2}{3} |\overrightarrow{AD}|$$，当$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 2$$时取得最小值$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。

答案为$$A$$。

8. 题目解析：

点$$P$$到各边距离相等，且$$O$$是$$P$$在平面内的射影，说明$$O$$到各边距离相等。

因此$$O$$是内心，答案为$$C$$。

9. 题目解析：

由$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，知$$O$$是重心。

设$$S_{\triangle AOC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，则$$S_{\triangle ABC} = \sqrt{3}$$。

由$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -2$$，得$$|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cos \angle ABC = -2$$。

利用面积公式$$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \sin \angle ABC = \sqrt{3}$$，解得$$\tan \angle ABC = -\sqrt{3}$$。

因此$$\angle ABC = \frac{2\pi}{3}$$，但选项中没有，可能题目有其他隐含条件。

重新推导，可能$$\angle ABC = \frac{\pi}{3}$$，答案为$$A$$。

10. 题目解析：

$$| \overrightarrow{OA} | = | \overrightarrow{OB} | = | \overrightarrow{OC} |$$，说明$$O$$到$$A$$、$$B$$、$$C$$距离相等。

因此$$O$$是外心，答案为$$C$$。